Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
a) Es ist die Taylorreihe für f(x) um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] zu entwickeln.
b) Geben Sie [mm] T_{6}(x) [/mm] ohne Summenzeichen an.
c) Ist f(x) eine gerade oder ungerade Funktion? |
Hallo,
ich habe diesselbe Frage hier schon im Forum entdeckt, beim Lesen des Threads wurden meine Fragen aber nicht beantwortet. Wie soll ich in Zukunft bei so etwas verfahren? Meine Fragen im bestehenden Thread posten oder einen neuen aufmachen?
Es geht mir erstmal um Aufgabe a):
Ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung so ok ist. Ich habe zuerst 6 Ableitungen gebildet (möchte gerne den umständlichen Weg über die Ableitungen gehen).
[mm] f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f'(x)=-2sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f''(x)=-4cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f'''(x)=8sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f''''(x)=16cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f'''''(x)=-32sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f''''''(x)=-64cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
entsprechend [mm] f^{(n)}(x_{0}) [/mm] mit [mm] x_{0}=0 [/mm] eingesetzt:
f(0)=0
f'(0)=-2
f''(0)=0
f'''(0)=8
f''''(0)=0
f'''''(0)=-32
f''''''(0)=0
Reihe aufgestellt:
[mm] cos(2x+\bruch{\pi}{2})=0-\bruch{2}{1!}x+\bruch{8}{3!}x^{3}-\bruch{32}{5!}x^{5}
[/mm]
Formulierung in Potenzreihenschreibweise:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Muss ich meine ermittelte Reihe mit der vollständigen Induktion beweisen? Oder ist die Lösung so in Ordnung?
Gruß, Andreas
|
|
| |
|
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> a) Es ist die Taylorreihe für f(x) um den
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] zu entwickeln.
> b) Geben Sie [mm]T_{6}(x)[/mm] ohne Summenzeichen an.
> c) Ist f(x) eine gerade oder ungerade Funktion?
>
> Hallo,
>
>
> ich habe diesselbe Frage hier schon im Forum entdeckt, beim
> Lesen des Threads wurden meine Fragen aber nicht
> beantwortet. Wie soll ich in Zukunft bei so etwas
> verfahren? Meine Fragen im bestehenden Thread posten oder
> einen neuen aufmachen?
>
>
> Es geht mir erstmal um Aufgabe a):
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung so ok ist. Ich
> habe zuerst 6 Ableitungen gebildet (möchte gerne den
> umständlichen Weg über die Ableitungen gehen).
>
> [mm]f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f'(x)=-2sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f''(x)=-4cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f'''(x)=8sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f''''(x)=16cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f'''''(x)=-32sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f''''''(x)=-64cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
Hier arbeitet man spätestens ab der 4. Ableitung nicht mehr mit Strichen, sondern setzt meist den Grad in Klammern, also [mm] $f^{(4)}(x)=f''''$. [/mm] Nur als Anmerkung
>
> entsprechend [mm]f^{(n)}(x_{0})[/mm] mit [mm]x_{0}=0[/mm] eingesetzt:
>
> f(0)=0
> f'(0)=-2
> f''(0)=0
> f'''(0)=8
> f''''(0)=0
> f'''''(0)=-32
> f''''''(0)=0
>
> Reihe aufgestellt:
>
> [mm]cos(2x+\bruch{\pi}{2})=0-\bruch{2}{1!}x+\bruch{8}{3!}x^{3}-\bruch{32}{5!}x^{5}[/mm]
>
> Formulierung in Potenzreihenschreibweise:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> Muss ich meine ermittelte Reihe mit der vollständigen
> Induktion beweisen? Oder ist die Lösung so in Ordnung?
Ja und nein, die Frage mit "muss" ist falsch formuliert. Reicht dir denn deine Unsicherheit? Du musst in der Mathematik gar nichts, die Frage ist, was du zeigen möchtest...Du hast die Ableitungen bis hierher korrekt gebildet und dir eine Vorstellung von einem Bildungsgesetz gemacht. Möchtest du auf die Infuktion verzichten, kannst du deine Formel aber nicht als DAS Bildungsgesetz bezeichnen, denn woher willst du wissen, dass es für die 100. etc. gilt? Es kommt also - wie gesagt - darauf an, was du wie genau beweisen möchtest. Reicht dir eine bloße Angabe einer eventuellen Bildungsvorschrift und möchtest du auf den Beweis verzichten - es passt also scheinbar so pi mal Daumen - ist das ok. Möchtest/"musst" du ein Bildungsgesetz für die letztendliche Reihe für $n [mm] \to \infty$ [/mm] aufstellen, wirst du um die Induktion nicht herumkommen, da sie der einzige Weg ist, die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen zu beweisen.
Übrigens sei angemerkt, dass die Induktion standardmäßig immer dazugehört und auch standardmäßig IMMER gleich abläuft, für Taylor-Entwicklungen also wirklich einfach nachzuweisen ist. Du musst ja lediglich einmal weiter ableiten und dann zeigen, dass dies umgeformt der Form n+1 entspricht, also wirklich eine äußerst einfache Induktion.
Dein Bildungsgesetz stimmt aber, wie ich eben nochmal nachgeprüft habe, die Reihe konvergiert gegen $-sin(2x)$.
>
>
> Gruß, Andreas
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, danke!
|
|
|
| |
|
b) und c) habe ich wie folgt gelöst:
b)
Ich soll [mm] T_{6}(x) [/mm] angeben. Also lediglich das Taylorpolynom 6. Grades, mehr ist das ja nicht oder?
[mm] T_{6}(x)=-\bruch{2}{1!}x+\bruch{8}{3!}x^{3}-\bruch{32}{5!}x^{5}
[/mm]
c)
Da die Definition für gerade/ungerade Funktionen wie folgt lautet:
ungerade wenn f(-x)=-f(x) erfüllt ist
gerade wenn f(x)=f(-x) erfüllt ist
ist die Funktion ungerade aufgrund:
[mm] cos(-2x+\bruch{\pi}{2})=-cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] -2x+\bruch{\pi}{2}=-2x-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{2}=-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Das müsste doch stimmen? [mm] arccos(-cos(2x+\bruch{\pi}{2}))=-2x-\bruch{\pi}{2} [/mm] oder nicht?
Gruß, Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mi 17.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> b) und c) habe ich wie folgt gelöst:
>
> b)
>
> Ich soll [mm]T_{6}(x)[/mm] angeben. Also lediglich das
> Taylorpolynom 6. Grades, mehr ist das ja nicht oder?
>
> [mm]T_{6}(x)=-\bruch{2}{1!}x+\bruch{8}{3!}x^{3}-\bruch{32}{5!}x^{5}[/mm]
Ja, das stimmt.
Aber noch ein Wort zu a):
Mit dem Additionstheorem bekommst Du:
$f(x)=-sin(2x)$
Jetzt Potenzreihe für den Sinus.
>
> c)
>
> Da die Definition für gerade/ungerade Funktionen wie folgt
> lautet:
>
> ungerade wenn f(-x)=-f(x) erfüllt ist
> gerade wenn f(x)=f(-x) erfüllt ist
>
> ist die Funktion ungerade aufgrund:
>
> [mm]cos(-2x+\bruch{\pi}{2})=-cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]-2x+\bruch{\pi}{2}=-2x-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{\pi}{2}=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
Das ist doch völliger Unsinn !! Wie kommst Du auf so was ?
>
> Das müsste doch stimmen?
Nein !
Beachte: $f(x)=-sin(2x)$
FRED
> [mm]arccos(-cos(2x+\bruch{\pi}{2}))=-2x-\bruch{\pi}{2}[/mm] oder
> nicht?
>
>
>
>
> Gruß, Andreas
>
|
|
|
| |
|
Ich möchte zeigen, ob [mm] f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2}) [/mm] eine gerade oder eine ungerade Funktion ist.
Ich dachte, man argumentiert mit der Definition aus meinem vorigen Post:
ungerade, wenn f(-x)=-f(x)
gerade, wenn f(x)=f(-x)
Da habe ich eben verzettelt. Das ist im Prinzip ja aber nichts anderes, als die ausschließliche Existenz gerader bzw. ungerader Exponenten. Im Falle der obigen gegebene Funktion sind ausschließlich ungerade Exponenten vorhanden, somit ist die Funktion ungerade.
Reicht es aus wenn ich sage, dass f(x)=-sin(2x) ist, der Sinus aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung eine ungerade Funktion darstellt, und daher meine gegebene Funktion ebenfalls eine ungerade Funktion ist?
Gruß, Andreas
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Andi,
> Ich möchte zeigen, ob [mm]f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine
> gerade oder eine ungerade Funktion ist.
>
> Ich dachte, man argumentiert mit der Definition aus meinem
> vorigen Post:
>
> ungerade, wenn f(-x)=-f(x)
> gerade, wenn f(x)=f(-x)
>
> Da habe ich eben verzettelt. Das ist im Prinzip ja aber
> nichts anderes, als die ausschließliche Existenz gerader
> bzw. ungerader Exponenten. Im Falle der obigen gegebene
> Funktion sind ausschließlich ungerade Exponenten
> vorhanden, somit ist die Funktion ungerade.
>
> Reicht es aus wenn ich sage, dass f(x)=-sin(2x) ist, der
> Sinus aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung eine
> ungerade Funktion darstellt, und daher meine gegebene
> Funktion ebenfalls eine ungerade Funktion ist?
Ja, das ist der einfachste Weg, es ist ja $f(x)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}}\right)=-\sin(2x)$
Welche Darstellung du für deine Funktion nimmst, ist dir überlassen ...
>
> Gruß, Andreas
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
