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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Leiten Sie die Taylorreihe $f(x)=cosh(x)$ um $x=0$ ab. Zeigen Sie unter Verwendung von der Restgliedabschätzung, dass diese Reihe für alle $x \in \IR$ mit $cosh(x)$ übereinstimmt.
Die Taylorreihe ist kein Problem, die kann man relativ einfach herleiten: $ 1 + \bruch{x^{2}}{2} + \bruch{x^{4}}{24} + ... $
Aber wie kann man das Restglied sinnvoll abschätzen? Ziel ist es ja zu zeigen, dass das Restglied gegen Null konvergiert, sodass die Taylorreihe mit der Funktion übereinstimmt.
Allgemeine Formel:
$ \limes_{k\rightarrow\infty} sup | \summe_{| \alpha |=k+1}^{ \infty} \bruch{1}{ \alpha!} \bruch{ \partial^{| \alpha | }f}{\partial x^{ \alpha}} (x+ \delta h) h^{ \alpha} | \delta \in (0,1)}=0 $
Man setzte nun in das Restglied ein. Kann man die Konvergenz damit begründen, dass das $ \alpha ! $ im Nenner schneller wächst als der Zähler, sodass der Bruch sehr schnell gegen 0 konvergiert? Oder habe ich es mir da zu einfach gemacht?
Grüße,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 15.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zeige, dass das Restglied auf jedem kompakten Intervall $I$ gegen $0$ konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn es Konstanten $a$ und $K$ gibt mit
[mm] $|f^{(n)}(x)| \le [/mm] a [mm] \cdot K^n$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Wir haben hier $f(x) = [mm] \cosh(x) [/mm] = [mm] \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,
[/mm]
also:
[mm] $f^{(n)}(x)= \frac{e^{x} + (-1)^n e^{-x}}{2}$.
[/mm]
Mit Hilfe der Monotonie der Exponentialfunktion ist die Aussage nun kein Problem mehr. Oder? (Tipp: Wähle $K=1$ im obigen Satz.  )
Viele Grüße
Julius
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