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| Aufgabe | Aufgabe 12 a)
Für das Restglied der Taylorentwicklung einer beliebigen (n+1) mal differenzierbaren Funktion f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] gilt:
[mm] $R_n(x) \; [/mm] = [mm] \; \frac{f^{(n+1)}(x_o)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}$ [/mm] ; [mm] $x_o \in ]x_0 [/mm] ; x[$
a) Zeige, dass sich [mm] R_n(x) [/mm] durch die Ungleichung
[mm] $k_u*\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \; \le \; R_n(x) \; \le \; k_o*\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$
[/mm]
abschätzen lässt. Dabei ist [mm] k_u [/mm] der minimale und [mm] k_o [/mm] der maximale Wert für [mm] f^{(n+1)}(t) [/mm] für $t [mm] \in [/mm] [0 ; x]$ . |
Hallo,
ich habe zwar das Lösungsbuch zu diesem Schulbuch (Analysis LK; "Elemente der Mathematik", Schrodel-Verlag) vorliegen, - damit ich hier im Forum nicht so viele Leute mit meinen Fragen belästigen muss - aber meiner Schätzung nach sind in round about 15% der Lösungen fehlerhaft.
Die Lösung zu 12 a):
(1) [mm] $k_u \; \le \; f^{(n+1)} \; \le \; k_o$
[/mm]
(2) [mm] $\int^{x}_{0} k_u \; [/mm] dt [mm] \; \le \; \int^{x}_{0} f^{(n+1)} \; [/mm] dt [mm] \; \le \; \int^{x}_{0} k_o \; [/mm] dt $
(3) $ [mm] k_u*x \; \le \; f^{(n)}(x)-f^{n}(0) \; \le \; k_o*x [/mm] $
(4) [mm] $\int^{x}_{0} k_u*x \; [/mm] dt [mm] \; \le \; \int^{x}_{0} [f^{(n)}(t) -f^{(n)}(0)]\; [/mm] dt [mm] \; \le \; \int^{x}_{0} k_o*x \; [/mm] dt $
(5) $ [mm] \frac{1}{2} *k_u*x^2 \; \le \; f^{(n-1)}(x)- f^{(n-1)}(0)-x*f^{n}(0) \; \le \; \frac{1}{2}*k_o*x^2 [/mm] $
(6) $ [mm] \frac{1}{2} *k_u*x^2 \; \le \; f^{(n-1)}(x)- f^{(n-1)}(0)-x*f^{n}(0) \; \le \; \frac{1}{2}*k_o*x^2 [/mm] $
(7) $ [mm] \frac{1}{2*3} *k_u*x^3 \; \le \; f^{(n-2)}(x) [/mm] - [mm] f^{(n-2)}(0)- x*f^{(n-1)}(0)-\frac{1}{2}*x^2*f^{n}(0) \; \le \; \frac{1}{2*3}*k_o*x^3 [/mm] $
usw.
(8) $ [mm] \frac{1}{(n+1)!} *k_u*x^{n+1} \; \le \; [/mm] f(x)-f(0)- f'(0)*x - [mm] \frac{f''(0)}{2}*x^2 [/mm] - [mm] \frac{f'''(0)}{2*3}*x^3 [/mm] -...- [mm] \frac{f^{(n)(0)}}{n!}*x^n \; \le \; \frac{1}{(n+1)!}*k_o*x^{n+1} [/mm] $
Also
(9) [mm] $\frac{1}{(n+1)!}*k_u*x^{n+1} \; \le \; R_n(x) \; \le \; k_o*\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$
[/mm]
Nun meine erste Frage:
Wie kommt man von Schritt (4) auf Schritt (5)?
Wo kommt der Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] her? Müsste man dazu nicht erst die Variable x in t - Schritt (4) - umbenennen - oder wie?
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martin
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Hallo Martinius,
> Aufgabe 12 a)
>
> Für das Restglied der Taylorentwicklung einer beliebigen
> (n+1) mal differenzierbaren Funktion f an der Stelle [mm]x_0[/mm]
> gilt:
>
> [mm]R_n(x) \; = \; \frac{f^{(n+1)}(x_o)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}[/mm]
> ; [mm]x_o \in ]x_0 ; x[[/mm]
>
>
> a) Zeige, dass sich [mm]R_n(x)[/mm] durch die Ungleichung
>
> [mm]k_u*\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \; \le \; R_n(x) \; \le \; k_o*\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
>
> abschätzen lässt. Dabei ist [mm]k_u[/mm] der minimale und [mm]k_o[/mm] der
> maximale Wert für [mm]f^{(n+1)}(t)[/mm] für [mm]t \in [0 ; x][/mm] .
> Hallo,
>
> ich habe zwar das Lösungsbuch zu diesem Schulbuch
> (Analysis LK; "Elemente der Mathematik", Schrodel-Verlag)
> vorliegen, - damit ich hier im Forum nicht so viele Leute
> mit meinen Fragen belästigen muss - aber meiner Schätzung
> nach sind in round about 15% der Lösungen fehlerhaft.
>
> Die Lösung zu 12 a):
>
> (1) [mm]k_u \; \le \; f^{(n+1)} \; \le \; k_o[/mm]
>
>
> (2) [mm]\int^{x}_{0} k_u \; dt \; \le \; \int^{x}_{0} f^{(n+1)} \; dt \; \le \; \int^{x}_{0} k_o \; dt[/mm]
>
>
> (3) [mm]k_u*x \; \le \; f^{(n)}(x)-f^{n}(0) \; \le \; k_o*x [/mm]
>
>
> (4) [mm]\int^{x}_{0} k_u*x \; dt \; \le \; \int^{x}_{0} [f^{(n)}(t) -f^{(n)}(0)]\; dt \; \le \; \int^{x}_{0} k_o*x \; dt[/mm]
>
>
> (5) [mm]\frac{1}{2} *k_u*x^2 \; \le \; f^{(n-1)}(x)- f^{(n-1)}(0)-x*f^{n}(0) \; \le \; \frac{1}{2}*k_o*x^2 [/mm]
>
>
> (6) [mm]\frac{1}{2} *k_u*x^2 \; \le \; f^{(n-1)}(x)- f^{(n-1)}(0)-x*f^{n}(0) \; \le \; \frac{1}{2}*k_o*x^2 [/mm]
>
>
> (7) [mm]\frac{1}{2*3} *k_u*x^3 \; \le \; f^{(n-2)}(x) - f^{(n-2)}(0)- x*f^{(n-1)}(0)-\frac{1}{2}*x^2*f^{n}(0) \; \le \; \frac{1}{2*3}*k_o*x^3 [/mm]
>
>
> usw.
>
>
> (8) [mm]\frac{1}{(n+1)!} *k_u*x^{n+1} \; \le \; f(x)-f(0)- f'(0)*x - \frac{f''(0)}{2}*x^2 - \frac{f'''(0)}{2*3}*x^3 -...- \frac{f^{(n)(0)}}{n!}*x^n \; \le \; \frac{1}{(n+1)!}*k_o*x^{n+1} [/mm]
>
>
> Also
>
> (9) [mm]\frac{1}{(n+1)!}*k_u*x^{n+1} \; \le \; R_n(x) \; \le \; k_o*\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
>
>
>
> Nun meine erste Frage:
>
> Wie kommt man von Schritt (4) auf Schritt (5)?
>
> Wo kommt der Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] her? Müsste man dazu nicht
> erst die Variable x in t - Schritt (4) - umbenennen - oder
> wie?
>
Ja, hast Du recht:
[mm]\int^{x}_{0} k_u\cdot{}\blue{t}
\; dt \; \le \; \int^{x}_{0} [f^{(n)}(t) -f^{(n)}(0)]\; dt \; \le \; \int^{x}_{0} k_o\cdot{}\blue{t} \; dt [/mm]
>
> Vielen Dank für eine Antwort.
>
> LG, Martin
>
Gruss
MathePower
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