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Forum "Folgen und Reihen" - Taylorreihe mit Restglied / O
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Taylorreihe mit Restglied / O: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mi 11.04.2018
Autor: losPollos

Aufgabe
Ziel:
Landau-Notation für den Differenzenquotient auf Korrektheit prüfen.

Die Taylorreihe im Entwicklungspunkt [mm] x=(x_0+\Delta [/mm] x) aufgelöst nach der Ableitung lautet:

[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm]  - [mm] \ldots [/mm]  - [mm] \frac{1}{n!} \cdot \frac{\partial^n f(x_0)}{\partial x^n}(\Delta x)^{n-1} [/mm]

Der Fehler lässt sich abschätzen durch:
f(x) = [mm] f_{n}(x) [/mm] + [mm] R_{n}(x) [/mm]

Nach Lagrange gilt:
[mm] R_{n}(x) [/mm]  = [mm] \frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!} f^{n+1}\xi_{n+1} [/mm] mit  [mm] x_{0} [/mm] < [mm] \xi_{n+1} [/mm] < [mm] x=x_{0}+\Delta [/mm] x

Der Abbruch der Taylorreihe nach dem zweiten Glied ist:
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] =  [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm]  - [mm] \underbrace{\frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} )}_{R} [/mm]

Frage:
Wie schätze ich das Restglied mit Hilfe der "groß O" Notation ab?

Meine Vorgehnsweise:

[mm] \left| R \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right| [/mm]
[mm] \left | R \right| [/mm] = [mm] \left| (\Delta x) \right| \left| \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right| [/mm]

[mm] \left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right| [/mm] <= M

mit C = M/2

[mm] \left| R \right| [/mm] <= C [mm] (\Delta [/mm] x)

[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm]  + [mm] \mathscr{O}(\Delta [/mm] x)


Ist das korrekt so?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorreihe mit Restglied / O: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Do 12.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

zwei Bemerkungen zuerst zur Notation
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm]

1.) Ist nur eine Variable vorhanden, so verwendet man keine [mm] $\partial$ [/mm] (wie der LaTeX-Name schon sagt, ist das die partielle Ableitung), sondern schlichtweg $d$.

2.) Das Argument sollte hinter den Bruch geschrieben werden, also insgesamt:
[mm] $\frac{df}{dx}(x_0)$ [/mm] denn du willst ja die Ableitung von f an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] betrachten und nicht die Ableitung von (der Konstante) [mm] f(x_0) [/mm] nach x, denn das wäre Null.

> Die Taylorreihe im Entwicklungspunkt [mm]x=(x_0+\Delta[/mm] x)
> aufgelöst nach der Ableitung lautet:
>  
> [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
>  - [mm]\ldots[/mm]  - [mm]\frac{1}{n!} \cdot \frac{\partial^n f(x_0)}{\partial x^n}(\Delta x)^{n-1} [/mm]

Nein… wenn du in $x = [mm] x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ entwickeln würdest, hättest du gar kein [mm] $f'(x_0) [/mm] = [mm] \frac{df}{dx}(x_0)$ [/mm] sondern ein $f'(x) = [mm] f'(x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x)$

Was du also eigentlich machen möchtest: Du willst die Taylorentwicklung von f(x) in der Entwicklungsstelle [mm] $x_0$ [/mm] für [mm] $x=x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ betrachten.

Dann enthältst du deinen Ausdruck mit den von mir genannten Notationskorrekturen.
  

> Der Fehler lässt sich abschätzen durch:
>  f(x) = [mm]f_{n}(x)[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm]

Korrekt (Entwicklungspunkt beachten!)
$f(x) = [mm] f_{n}(x_0) [/mm] + [mm] R_{n}(x_0)$ [/mm]

> Nach Lagrange gilt:
>  [mm]R_{n}(x)[/mm]  = [mm]\frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!} f^{n+1}\xi_{n+1}[/mm]

Ok, wobei die Notation hier auch wieder unsauber ist… bspw. fehlen die Klammer um das Funktionsargument.

> Der Abbruch der Taylorreihe nach dem zweiten Glied ist:

Besser: "Bei Abbruch…"

>  [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] =  [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
>  - [mm]\underbrace{\frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} )}_{R}[/mm]
>
> Frage:
>  Wie schätze ich das Restglied mit Hilfe der "groß O"
> Notation ab?
>  Meine Vorgehnsweise:
>  
> [mm]\left| R \right|[/mm] = [mm]\left| \frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
>  
> [mm]\left | R \right|[/mm] = [mm]\left| (\Delta x) \right| \left| \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
>  
> [mm]\left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
> <= M
>  
> mit C = M/2
>  
> [mm]\left| R \right|[/mm] <= C [mm](\Delta[/mm] x)
>  
> [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
>  + [mm]\mathscr{O}(\Delta[/mm] x)
>  
>
> Ist das korrekt so?

Das kann man so machen, wenn man weiß, dass [mm] $\frac{d^2f}{dx^2}$ [/mm] beschränkt ist auf [mm] $(x_0,x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x)$. Das hat man schon, wenn f zweimal stetig differenzierbar ist. Allerdings bekommt man eine deutlich bessere Approximation, man kann nämlich zeigen, dass für alle Restglieder gilt (das hattet ihr bestimmt).

[mm] $R_n \in o\left((\Delta x)^n\right)$ [/mm]

In deinem Fall bedeutet das: Es gilt [mm] $R_2 \in o((\Delta x)^2)$ [/mm]

Und daraus folgt sofort: $R [mm] \in o(\Delta [/mm] x)$

Schreibe dazu die Definition von [mm] $R_2 \in o((\Delta x)^2)$ [/mm] hin und die Definition von $R [mm] \in o(\Delta [/mm] x)$

Wenn man zweiteren Ausdruck mit [mm] $\Delta [/mm] x$ erweitert, sieht man sofort die Äquivalenz.

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Taylorreihe mit Restglied / O: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Do 19.04.2018
Autor: losPollos

Danke!

Bezug
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