matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungenTaylorreihe und Konsistenzord.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Differentialgleichungen" - Taylorreihe und Konsistenzord.
Taylorreihe und Konsistenzord. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorreihe und Konsistenzord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Mo 06.07.2009
Autor: Zerwas

Aufgabe
Zeige, dass das Einfache-Runge-Kutta-Verfahren
[mm] \eta_{k+1}=\eta_k+h*\frac{1}{6}*(k_1+4*k_2+k_3) [/mm]
mit
[mm] k_1 [/mm] = f(t, [mm] \eta_k) [/mm]
[mm] k_2 [/mm] = [mm] f(t+\frac{h}{2}, \eta_k [/mm] + [mm] \frac{h}{2}k_1) [/mm]
[mm] k_3 [/mm] = f(t +h, [mm] \eta_k [/mm] + [mm] h(-k_1 [/mm] + [mm] 2k_2) [/mm]
ein Einschrittverfahren dritter Ordnung ist.

Um die Ordnung eines Einschrittverfahrens zu ermitteln betrachte ich den Konsistenzfehler [mm] \tau(h; [/mm] t, y(t), f) := [mm] \frac{1}{h}*(y(t+h) -y(t)-h*\Phi(h;t,y(t),f) [/mm]

Um hier zu ermitteln wie groß dei Ordnug des Fehlers ist muss ich die die gegebenen Funktionen y(t+h) und [mm] \Phi [/mm] Taylor-Entwickeln

y(t+h) = y(t) + h*y'(t) + [mm] \frac{h^2}{2}*y''(t) [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm]
= y(t) + h* f(t, y(t)) + [mm] \frac{h^2}{2}*(f_t [/mm] + [mm] f_y*f)(t,y(t)) [/mm]

Beim Runge Kutta Verfahren betrachte ich die einzelnen [mm] k_i [/mm] erst einmal getrennt:
[mm] k_1 [/mm] = f(t, y(t)) = ...
hier beginnen jetzt meine Probleme was Taylorentwickle ich hier wie?

Ich wäre Dankbar wenn mir hier jmd weiterhelfen könnte.

Danke und Gruß
Zerwas

Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorreihe und Konsistenzord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Mo 06.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Zerwas,

> Zeige, dass das Einfache-Runge-Kutta-Verfahren
>  [mm]\eta_{k+1}=\eta_k+h*\frac{1}{6}*(k_1+4*k_2+k_3)[/mm]
>  mit
>  [mm]k_1[/mm] = f(t, [mm]\eta_k)[/mm]
>  [mm]k_2[/mm] = [mm]f(t+\frac{h}{2}, \eta_k[/mm] + [mm]\frac{h}{2}k_1)[/mm]
>  [mm]k_3[/mm] = f(t +h, [mm]\eta_k[/mm] + [mm]h(-k_1[/mm] + [mm]2k_2)[/mm]
>  ein Einschrittverfahren dritter Ordnung ist.
>  Um die Ordnung eines Einschrittverfahrens zu ermitteln
> betrachte ich den Konsistenzfehler [mm]\tau(h;[/mm] t, y(t), f) :=
> [mm]\frac{1}{h}*(y(t+h) -y(t)-h*\Phi(h;t,y(t),f)[/mm]
>  
> Um hier zu ermitteln wie groß dei Ordnug des Fehlers ist
> muss ich die die gegebenen Funktionen y(t+h) und [mm]\Phi[/mm]
> Taylor-Entwickeln
>  
> y(t+h) = y(t) + h*y'(t) + [mm]\frac{h^2}{2}*y''(t)[/mm] + [mm]O(h^3)[/mm]
>  = y(t) + h* f(t, y(t)) + [mm]\frac{h^2}{2}*(f_t[/mm] +
> [mm]f_y*f)(t,y(t))[/mm]
>  
> Beim Runge Kutta Verfahren betrachte ich die einzelnen [mm]k_i[/mm]
> erst einmal getrennt:
>  [mm]k_1[/mm] = f(t, y(t)) = ...
>  hier beginnen jetzt meine Probleme was Taylorentwickle ich
> hier wie?

Zunächst einmal gibt es bei [mm]k_{1}[/mm] nichts zu entwickeln.

Erst [mm]k_{2}[/mm] mußt Du in eine Taylorreihe  um  [mm]\left(t,\eta_{k}\right)[/mm] entwickeln.


>  
> Ich wäre Dankbar wenn mir hier jmd weiterhelfen könnte.
>  
> Danke und Gruß
>  Zerwas
>  
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe und Konsistenzord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Mo 06.07.2009
Autor: Zerwas

Okay danke erstmal.

Aber die wahrscheinlich dumme Frage: Warum ist bei [mm] k_1 [/mm] nichts zu entwickeln?

Und wie entwickle ich dann [mm] k_2 [/mm] und [mm] k_3 [/mm] um (t, [mm] \eta_k) [/mm] ?

Entwickle ich nicht eigentlich um [mm] (t+\frac{h}{2}, \eta_k [/mm] + [mm] \frac{h}{2}f(t,\eta_k) [/mm] ? oder verdrehe ich hier was?

Dann bekomme ich ja:

$ [mm] k_2 [/mm] $ = $ [mm] f(t+\frac{h}{2}, \eta_k [/mm] $ + $ [mm] \frac{h}{2}*f(t,\eta_k)) [/mm] $

= [mm] f(t,\eta_k) [/mm] + [mm] \frac{h}{2}*(f_t [/mm] + [mm] f_y*f) [/mm] + [mm] \frac{h^2}{8}*(f_{tt} [/mm] + [mm] 2*f_{ty}f [/mm] + [mm] f_{yy}*f^2) [/mm] + [mm] \frac{h^3}{48}*(f_{ttt} [/mm] + [mm] 3*f_{tty}f [/mm] + [mm] 3*f_{tyy}f^2 [/mm] + [mm] f_{yyy}f^3) [/mm]

und eben noch länger bei [mm] k_3 [/mm]

Passt das so?

Danke und Gruß Zerwas

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe und Konsistenzord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Mo 06.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Zerwas,

> Okay danke erstmal.
>  
> Aber die wahrscheinlich dumme Frage: Warum ist bei [mm]k_1[/mm]
> nichts zu entwickeln?


Weil Du Dich hier um keinen konkreten Punkt entwickeln kannst.


>
> Und wie entwickle ich dann [mm]k_2[/mm] und [mm]k_3[/mm] um (t, [mm]\eta_k)[/mm] ?
>
> Entwickle ich nicht eigentlich um [mm](t+\frac{h}{2}, \eta_k[/mm] +
> [mm]\frac{h}{2}f(t,\eta_k)[/mm] ? oder verdrehe ich hier was?


Da verdrehst Du was.


>  
> Dann bekomme ich ja:
>  
> [mm]k_2[/mm] = [mm]f(t+\frac{h}{2}, \eta_k[/mm] + [mm]\frac{h}{2}*f(t,\eta_k))[/mm]
>
> = [mm]f(t,\eta_k)[/mm] + [mm]\frac{h}{2}*(f_t[/mm] + [mm]f_y*f)[/mm] +
> [mm]\frac{h^2}{8}*(f_{tt}[/mm] + [mm]2*f_{ty}f[/mm] + [mm]f_{yy}*f^2)[/mm] +
> [mm]\frac{h^3}{48}*(f_{ttt}[/mm] + [mm]3*f_{tty}f[/mm] + [mm]3*f_{tyy}f^2[/mm] +
> [mm]f_{yyy}f^3)[/mm]
>  
> und eben noch länger bei [mm]k_3[/mm]
>  
> Passt das so?


Ja, das passt.


>  
> Danke und Gruß Zerwas


Gruß
MathePower


Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe und Konsistenzord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Mo 06.07.2009
Autor: Zerwas

Aber wieso habe ich dann [mm] \frac{h}{2} [/mm] statt nur h?

Genauer meine Taylorformel lautet ja:
f(t+h) = [mm] \sum_{k = 0}^\infty{\frac{h^k}{k!}*f^{(k)}(t)} [/mm]

Wenn ich jetzt um [mm] (t,\eta_k) [/mm] entwickle sollte ich ja vor den jeweiligen Ableitungen einmal [mm] \frac{h^0}{1} [/mm] dann [mm] \frac{h^1}{1} [/mm] dann [mm] \frac{h^2}{2} [/mm] usw stehen haben.

Ich habe ja aber viel größere Were im Nenner nämlich [mm] \frac{\frac{h}{2}^k}{k!} [/mm]

Wo kommen die dann her? ... Bzw. wo steh ich auf dem Schlauch?

Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe und Konsistenzord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mo 06.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Zerwas,

> Aber wieso habe ich dann [mm]\frac{h}{2}[/mm] statt nur h?
>  
> Genauer meine Taylorformel lautet ja:
>  f(t+h) = [mm]\sum_{k = 0}^\infty{\frac{h^k}{k!}*f^{(k)}(t)}[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt um [mm](t,\eta_k)[/mm] entwickle sollte ich ja vor
> den jeweiligen Ableitungen einmal [mm]\frac{h^0}{1}[/mm] dann
> [mm]\frac{h^1}{1}[/mm] dann [mm]\frac{h^2}{2}[/mm] usw stehen haben.
>  
> Ich habe ja aber viel größere Were im Nenner nämlich
> [mm]\frac{\frac{h}{2}^k}{k!}[/mm]
>  
> Wo kommen die dann her? ... Bzw. wo steh ich auf dem
> Schlauch?  


Hier entwicklest Du ja [mm]f\left(t+\bruch{h}{2}}\right)[/mm] in eine Taylorreihe:

[mm]f(t+\bruch{h}{2}) =\sum_{k = 0}^\infty{\frac{\left(h/2\right)^k}{k!}*f^{(k)}(t)}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]