Taylorreihe und Substitution < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Sa 17.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo...
Mir ist was nicht ganz klar.
Soll man z.B. f(x) = [mm] sin(\bruch{x}{2}) [/mm] ableiten, dann kann man ja nicht "einfach" nur das äussere beachten (Substitution). Das hier ist ja bekanntlich falsch: f(x)' = [mm] cos(\bruch{x}{2}) [/mm]
Es ist f(x)' = [mm] cos(\bruch{x}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
So nun zu meiner Unklarheit:
Wenn man die Taylorentwicklung einer Funktion bestimmen muss, wie der Funktion f(x) = [mm] e^{(x^{2})} [/mm] dann kann man einfach die Taylorentwicklung für f(u) = [mm] e^{u} [/mm] nehmen und anstelle der u einfach [mm] x^{2} [/mm] einsetzen.
Wieso geht denn das? Die Taylorentwicklung folgt doch aus den Ableitungen? Muss ich nich innere Ableitungen und so zeugs beachten?
Die einzige pausible Erklärung für mich wäre, dass die Taylorentwicklung ja eigentlich ein Polynom sein soll, bzw. ein Polynom abgeleitet wird und nicht die eigentliche Funktion, dem ja das Polynom "angepasst" wird. Intuitiv hab ichs aber noch nich so verstanden.
Vielleicht kann es mir ja jemand etwas erläutern.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Ja wieso geht das... ist doch eigentlich klar, irgendwie... du hast [mm] e^u [/mm] und wenn du jetzt für u [mm] x^2 [/mm] einsetzt, so hast du [mm] e^{x^2} [/mm] berechnet. Und jetzt setzt du einfach in die Taylorentwicklung von [mm] e^u [/mm] eben das [mm] x^2 [/mm] ein. Selbes Prinzip.
Nur musst du beachten, das du so möglicherweise keine Taylorentwicklung mehr kriegst.
Wenn du z.B. die Funktion [mm] e^\sqrt{x} [/mm] so entwickeln möchtest und dann einfach [mm] \sqrt{x} [/mm] in die Taylorentwicklung von [mm] e^x [/mm] einsetzt, so kriegst du keine Taylor-Reihe mehr (sondern einfach irgendeine andere Reihe, welche die Funktion [mm] e^\sqrt{x} [/mm] darstellt.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 17.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Danke... Das ich dann möglicherweise keine Taylorreihe mehr kriege, das ist mir noch nicht bewusst gewesen. Ist sicher gut zu wissen.
Mir ist das aber noch nicht so ganz klar mit der Substitution bei der Taylorentwicklung. Ich hab mit mal ein paar Reihen hingezeichnet [mm] (e^{x} [/mm] und [mm] e^{x^{2}},sin(x) [/mm] und [mm] sin(x^{2}),...)
[/mm]
Ich habe gemerkt, dass das ja eigentlich nur beim Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 0 gilt.
Gilt dass allgemein(!) bei Funktionen, dass bei der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = 0 man einfach substituieren kann?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 17.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke... Das ich dann möglicherweise keine Taylorreihe
> mehr kriege, das ist mir noch nicht bewusst gewesen. Ist
> sicher gut zu wissen.
>
> Mir ist das aber noch nicht so ganz klar mit der
> Substitution bei der Taylorentwicklung. Ich hab mit mal ein
> paar Reihen hingezeichnet [mm](e^{x}[/mm] und [mm]e^{x^{2}},sin(x)[/mm] und
> [mm]sin(x^{2}),...)[/mm]
>
> Ich habe gemerkt, dass das ja eigentlich nur beim
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] = 0 gilt.
>
> Gilt dass allgemein(!) bei Funktionen, dass bei der Stelle
> [mm]x_{0}[/mm] = 0 man einfach substituieren kann?
Nein, so allgemein stimmt das nicht. Was du meinst, ist, dass beim Einsetzen einfacher Potenzen wieder eine einfache Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 0 herauskommt.
Nehmen wir mal ein paar andere, komplizierte Bespiele:
[mm] e^x = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] .
Da diese Taylorreihe für beliebige Werte von x konvergiert, kann ich beliebige Funktionen einsetzen, und daher ist
[mm] e^{x+1} = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x+1)^n}{n!} [/mm] .
Das ist wieder eine Taylorreihe, aber jetzt mit Entwicklungspunkt -1: es ist also die Taylorreihe der Funktion [mm] $e^{x+1}$, [/mm] entwickelt um -1.
Ebenso ist
[mm] e^{x^2+1} = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x^2+1)^n}{n!} [/mm] .
Das ist zwar eine Reihe, aber keine Taylorreihe.
Das heisst nicht, das man das nicht wieder als Taylorreihe schreiben kann! Du könntest die Polynome [mm] $(x^2+1)^n$ [/mm] in jedem Summanden ausmultiplizieren und danach alle Terme nach Potenzen von x umsortieren. Das geht hier, weil die Reihe absolut konvergiert.
Noch so ein Beispiel, diesmal mit einer Funktion, deren Funktionswert bei 0 selber 0 ist:
[mm] e^{\sin x} = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\sin^n x}{n!} [/mm] .
Auch keine Taylorreihe.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Sa 17.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Rainer.
Ich hab jetzt dank dir mehr verstanden. Ich muss es mir nochmals genau selbst überlegen, irgendwie hab ich da ein Durcheinander bekommen. Ich glaub dir Frage von mir war etwas zu allgemein.
Falls was nich klar is frag ich nochmal; )
Ich danke beiden.
Gruss
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