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Forum "Funktionen" - Taylorreihe von e
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Taylorreihe von e: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:10 Mi 15.01.2014
Autor: Ryusaki

Meine Frage lautet ganz einfach, ob mir jemand sagen kann, ob ich die vollständige Induktion richtig gerechnet habe oder falls nicht, mir sagen kann wo meine Fehler liegen.
Induktionsbeginn: i = 0
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm]  [mm]\bruch {1}{i!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {i+1}{i*(i+1)}[/mm]
=> für i = 0 gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm]  [mm]\bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {0+1}{0*(0+1)}[/mm]
1 = 1
Induktionsannahme: i = k
[mm]\sum_{i=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+1}{k*(k+1)}[/mm]
Induktionsbehauptung: i = k + 1
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm]  [mm]\bruch {1}{(k+1)!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+2}{(k+1)*(k+2)}[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm]  [mm]\bruch {1}{(k+1)} * \bruch {1}{1!} = 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm]  [mm]\bruch {1}{(k+1)} * 1 + \bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty} 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm]  [mm]\bruch {1}{(k+1)} + 1 = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
[mm] 1 + \bruch {1}{(k+1)}=1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]mit k [mm] \in \IN [/mm]
also wäre nett wenn mir jemand darauf eine antwort geben kann :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorreihe von e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 Mi 15.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

das sieht mir reichlich durcheinander aus.

Ich würde gerne mal zu Beginn die Behauptung überhaupt mal sehen.

Dann hast du im Beweisverlauf i als Summationsindex, in der Summe aber nur k stehen, da summierst du also immer konstante Terme auf ...

Also sag mal die Aufgabe im Originalwortlaut ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe von e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Mi 15.01.2014
Autor: Ryusaki

Also die Aufgabe die ich mir selbst gestellt habe, lautete:
Beiweise folgenden Zusammenhang durch vollständige Induktion:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} 1 + \bruch {1+k}{k*(k+1)}[/mm] mit k [mm] \in \IN [/mm]
das mit dem i hab ich irgendwie ohne es zu merken rein geschrieben


Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe von e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 Mi 15.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Also die Aufgabe die ich mir selbst gestellt habe, lautete:
> Beiweise folgenden Zusammenhang durch vollständige
> Induktion:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} 1 + \bruch {1+k}{k*(k+1)}[/mm]
> mit k [mm]\in \IN[/mm]
> das mit dem i hab ich irgendwie ohne es zu
> merken rein geschrieben

Das kann gar nicht gelten.

Linkerhand steht ja nix anderes als $e$ - die eulersche Zahl: 2,71...$

Rechterhand summierst du unendlich oft die 1 auf und addierst noch was positives hinzu.

Da steht rechts also [mm] $\infty$ [/mm]

[mm] $e=\infty$ [/mm] ?

Eher nicht ;-)

Gruß

schachuzipus
>

Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe von e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Mi 15.01.2014
Autor: Ryusaki

Okey ^^ hab mich das schon seit paar Tagen gefragt wo mein Fehler liegt
Danke nochmal

Bezug
        
Bezug
Taylorreihe von e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mi 15.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Meine Frage lautet ganz einfach, ob mir jemand sagen kann,
> ob ich die vollständige Induktion richtig gerechnet habe
> oder falls nicht, mir sagen kann wo meine Fehler liegen.
> Induktionsbeginn: i = 0
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{i!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {i+1}{i*(i+1)}[/mm]

>

> => für i = 0 gilt:
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {0+1}{0*(0+1)}[/mm]

>

> 1 = 1

Aha ...

Was ist [mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty}1 [/mm] $?

Du summierst unendlich oft die 1 auf, das ist also [mm] $\infty$ [/mm]

Dann $(0+1)/(0(0+1))$, also $1/0$ - was soll das sein?

Wo taucht die Variable auf, über die du die Induktion machst?

Und wie gesagt, Induktion zu welcher Behauptung?!


> Induktionsannahme: i = k
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+1}{k*(k+1)}[/mm]

>

> Induktionsbehauptung: i = k + 1
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+2}{(k+1)*(k+2)}[/mm]

>

> Induktionsschluss:
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} * \bruch {1}{1!} = 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]

>

> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} * 1 + \bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty} 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]

>

> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} + 1 = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]

>

> [mm]1 + \bruch {1}{(k+1)}=1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]mit k [mm]\in \IN[/mm]

>

> also wäre nett wenn mir jemand darauf eine antwort geben
> kann :)

Kokolores ;-)

Gruß

schachuzipus


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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