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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:40 Mo 04.05.2009 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für f(x)= [mm] e^{x} [/mm] und a [mm] \in \IR [/mm] die Taylorreihe [mm] T_{f,a}(x). [/mm] Zeigen Sie, dass diese gegen die Funktion konvergiert. |
Hallo,ich habe bereits die Taylorreihe aufgestellt und möchte nur noch zeigen dass die funktion konvergiert. dazu hab ich mir überlegt dass zu zeigen ist,dass das Restglied, ich habe es in Lagrangeform, für großes n gegen Null geht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{z}}{n!} (x-a)^{n}=0
[/mm]
z ist dabei meine Zahl aus dem Intervall.
Ich habs leider noch nicht hinbekommen das selber zu beweisen,hab aber was gefunden,wobei ich jedoch den letzten schritt nicht verstehe:
da [mm] e^{z} [/mm] ein fester wert ist,wird der in der grenzwertbetrachtung nicht beachtet.Betrachte also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ (x-a)^{n}}{n!}
[/mm]
setze [mm] a_{n}=\bruch{ (x-a)^{n}}{n!}, [/mm] |x|=(x-a), wähle N>|x|, dann gilt für:
[mm] |a_{n}-0|=|a_{n}|=\bruch{|x|^n}{n!}\le \bruch{|x|^N}{N!}* \bruch{|x|}{N+1} *\bruch{|x|}{N+2}* [/mm] .... [mm] *\bruch{|x|}{n-1} *\bruch{|x|}{n} [/mm]
und nach wahl von N gilt dann:
[mm] \le \bruch{|x|^N}{N!} \bruch{|x|}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für [mm] n\ge [/mm] max(N, [mm] \bruch{|x|^N}{N!}, \bruch{|x|}{\varepsilon} [/mm]
dies ist der schritt den ich nicht verstehe,wozu brauche ich diese einschränkung,bzw wie komme ich überhaupt darauf ,dass das dann kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist???
Danke bereits im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Sa 09.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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