Taylorreihe zu sin(x²) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Do 13.07.2006 | | Autor: | clown99 |
| Aufgabe | Bestimme die Taylorreihe von f(x) = sin(x²) um o = 0 durch
Einsetzen in die Sinus-Reihe bzw. durch Bestimmung der höheren Ableitungen in o = 0.
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Habe die ersten Ableitungen von sin(x²) gebildet, dann die 0 schön in die einzelnen Taylorpolynome eingesetzt. Doch beim besten Willen weiss ich nicht, wie man daraus auf die Taylorreihe kommen soll. Die n-te Ableitung ist mir total schleierhaft. Einsetzen in die sin-reihe, dabei erst recht keine Ahnung wie man da vorgeht.
f(x) = sin(x²)
f'(x) = 2*x*cos(x²)
f''(x) = 2*cos(x²)-4*x²*sin(x²)
f'''(x) = -8*x³*cos(x²)-12*x*sin(x²)
Bin über jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du mußt die Taylorreihe nicht immer neu berechnen. Du kannst auch aus bekannten Taylorreihen deine Funktion zusammenstricken.
In dem Fall nimmst du einfach die Taylorreihe von sin(z), die sollte ja bekannt sein. Wenn z jetzt irgendeine Funktion ist, von der du die Taylorreihe kennst, kannst du diese Taylorreihe einfach in die Taylorreihe von sin(z) einsetzen.
Nun, hier ist z=x², das ist auch gleich die Taylorreihe...
Lange Rede, kurzer Sinn, nimm die Taylorreihe vom Sinus und setze x² ein!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mo 17.07.2006 | | Autor: | clown99 |
Danke. Mit der Sinus-Reihe klappts gut. Gibts auch ne Möglichkeit mittels höherer Ableitungen?
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Nun, du kannst versuchen, eine Gesetzmäßigkeit für die Ableitungen zu finden. Wenn dir eine direkte Formel dafür gelingt, hast du gewonnen.
Dies ist i.a. aber schwierig, wenn du nicht grade beim Bilden der Ableitungen eine Gesetzmäßigkeit entdeckst.
In der Realität interessieren einen allerdings eh nur die ersten Terme, daher ist das dann kein Problem, aber du möchtest ja nun ALLE Terme kennen...
Nebenbei, als Hinweis für andere Fälle:
Beim Einsetzen mußt du darauf achten, daß die Entwicklungspunkte stimmen. Beispielsweise ln(cos x) um x=0: ln kannst du ja nicht um 0 entwickeln, aber der cos liefert um x=0 ja funktionswerte um 1. Nun, ln kannst du um 1 entwickeln (steht sogar in den meisten Sammlungen). Du setzt also die Entwicklumg von cos um 0 in die Entwicklung von ln um 1 ein!
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