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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mo 06.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Reihenentwickllung mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] der Funktion [mm] f_{x}=\bruch{5x}{6x^{2}-x-1}, [/mm] indem Sie zunächst eine Partialbruchzerlegung durchführen. |
Hi,
hab mit dem letzten Teil der Aufgabe Probleme. Das hab ich bisher gemacht:
Partialbruchzerlegung:
[mm] f_{x}=\bruch{5x}{6x^{2}-x-1}=\bruch{5x}{(3x+1)(2x-1)}=\bruch{A}{3x+1}+\bruch{B}{2x-1}=\bruch{A(2x-1)+B(3x+1)}{6x^{2}-x-1}
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
2A + 3B =5
-A + B = 0
A=B=1
So, und weiter komme ich nicht. In der Musterlösung steht folgendes (versteh ich aber nicht):
[mm] f_{x}=\bruch{1}{1-(-3x)}-\bruch{1}{1-(2x)}=\summe_{k=0}^{\infty}(-3x)^{k}-\summe_{k=0}^{\infty}(2x)^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}[(-3x)^{k}-2^{k}]*x^{k}
[/mm]
Die Reihenentwicklung stellt die Funktion dar für: [mm] |x|<\bruch{1}{3}
[/mm]
Es wäre super wenn mir jemand den letzten Teil der Aufgabe erklären könnte. Danke!!
MfG
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 06.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
offensichtlich hast du Mühe mit der geometrischen Reihe!
Die stellt aber bei Reihen eigentlich das wichtigste Werkzeug dar!
Es [mm] gilt:\summe_{i=1}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
und damit für q<1
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Das habt ihr sicher gehabt.
Nun kann man für q irgendwas einsetzen, links oder und rechts. also [mm] q=x^2 [/mm] oder q=(-3x) oder q=2x usw oder q=17*Stefan usw. Dan folgt z. Bsp im letzen Fall:
[mm] \bruch{1}{1-17*Stefan}=\summe_{i=1}^{\infty}17^i*Stefan^i
[/mm]
für 17Stefan<1!
Gruss leduart
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