Taylorsche-Reihe Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 27.02.2009 | | Autor: | gammla |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Taylorsche-Reihe von [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] um das Entwicklungszentrum [mm] X_0=1 [/mm] bis zur 4. Potenz (einschließlich). |
Hier die Lösung der Taylor-Reihe um das Entwicklungszentrum [mm] X_0=1
[/mm]
[mm] f(x)=1-\bruch{1}{2}(x-1)^1+\bruch{3}{8}(x-1)^2-\bruch{5}{16}(x-1)^3+\bruch{35}{128}(x-1)^4+...
[/mm]
In der Lösung ist der Konvergenzbereich 0<x<2 angegeben!
Leider fehlt an dieser Stelle der Lösungsweg!
Den Konvergenzradius würde ich mit folgender Formel bestimmen:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right|
[/mm]
Leider schaffe ich es nicht [mm] a_n [/mm] zu bilden!
Oder "übersehe" ich hier etwas und der Konvergenzbereich ist "selbstverständlich" 0<x<2 ?
Helft mir bitte auf die Sprünge!
Gruß,
gammla
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Fr 27.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Taylorsche-Reihe von
> [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] um das Entwicklungszentrum [mm]X_0=1[/mm]
> bis zur 4. Potenz (einschließlich).
> Hier die Lösung der Taylor-Reihe um das
> Entwicklungszentrum [mm]X_0=1[/mm]
>
> [mm]f(x)=1-\bruch{1}{2}(x-1)^1+\bruch{3}{8}(x-1)^2-\bruch{5}{16}(x-1)^3+\bruch{35}{128}(x-1)^4+...[/mm]
>
> In der Lösung ist der Konvergenzbereich 0<x<2 angegeben!
>
> Leider fehlt an dieser Stelle der Lösungsweg!
>
> Den Konvergenzradius würde ich mit folgender Formel
> bestimmen:
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right|[/mm]
>
> Leider schaffe ich es nicht [mm]a_n[/mm] zu bilden!
>
> Oder "übersehe" ich hier etwas und der Konvergenzbereich
> ist "selbstverständlich" 0<x<2 ?
>
> Helft mir bitte auf die Sprünge!
>
> Gruß,
>
> gammla
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
Der Betrag des Terms (x-1) ist für 0<x<2 kleiner als 1, deshalb konvergiert die Folge [mm] (x-1)^n [/mm] in diesem Bereich gegen Null (und nach dem Leibnizkriterium konvergiert dann die Reihe).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 So 01.03.2009 | | Autor: | gammla |
Vielen Dank für die Antwort!
Das hilft mir weiter!
Gruß,
Gammla
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