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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Di 17.05.2011 | | Autor: | JayvH |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich hoffe das die Frage hier in einem Mathematikforum gut aufgehoben ist. Es handelt sich eigentlich um eine technische Anwendung aus dem Maschinenbau. Da ich aber bereits im Kollegengespräch auf keine Lösung meines Problems kam, dachte ich mir, dass ich vielleicht einmal direkt bei den Mathematikern fragen sollte.
Es handelt sich konkret um die Berechnung von Größen in einem ![[]](/images/popup.gif) Wälzlager. So ein Wälzlager besteht in der Regel aus einem Außen- und Innenring, sowie dazwischen laufenden Wälzkörpern. Möchte man die Kraftverteilung einer Last auf die einzelnen Wälzkörper ermitteln, so benötigt man dafür die Deformation der Wälzkörper unter Einwirkung einer externnen Last.
Mit den Hilfskreisen [mm] r_{a} [/mm] und [mm] r_{i} [/mm] werden die "inneren und äußeren Mittelbahnkreise der Wälzkörper" oder auch "Bahnkreise" bezeichnet. Sie entsprechen den Bahnen der Wälzkörpermittelpunkte ohne Verformung.
Nun ist es aber so, dass so ein Wälzlager in der Praxis (wie im Grunde alle hergestellten Produkte) nie den Idealmaßen entsprechen und die Istmaße sowie die Aufweitungen und Stauchungen bei der Montage zu einer Lagerluft [mm] \Delta_{0} [/mm] führen. Ohne Belastung ist der Mittelpunkt des inneren Kreise [mm] M_{i} [/mm] gegenüber dem Mittelpunkt des äußeren Kreises [mm] M_{a} [/mm] immer um die halbe Lagerluft [mm] \bruch{\Delta_{0}}{2} [/mm] verschoben (Teilbild b). Eine äußere Last verursacht eine Deformation der Wälzkörper um einen Wert [mm] \delta. [/mm] Wobei die maximale Deformation an der Stelle, die direkt in Lastrichtung liegt mit [mm] \delta_{0} [/mm] bezeichnet wird. Es ergibt sich dann ein gesamtes radiales Spiel
[mm] \bruch{\Delta}{2}=\bruch{\Delta_{0}}{2}+\delta_{0} [/mm] (Teilbild c)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Frage ist nun, wie lässt sich das [mm] \delta [/mm] für eine beliebige Stelle bestimmen. Dafür gibt es in einem Werk, welches das folgendermaßen löst
[mm] \delta=\bruch{\Delta}{2} \cdot \cos \varphi [/mm] - [mm] \bruch{\Delta_{0}}{2}
[/mm]
mit passender Grafik
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich bin jetzt seit 2 Tagen dabei, diese Formel nachzuvollziehen und kann mir nicht erklären wieso das [mm] \cos \varphi [/mm] lediglich beim [mm] \bruch{\Delta}{2} [/mm] als Faktor mit hinzugenommen wird. Das [mm] \bruch{\Delta_{0}}{2} [/mm] kommt aber ohne diesen Faktor aus.
Es sei noch erwähnt, dass für Lager ohne Lagerluft, also [mm] \Delta_{0} [/mm] = 0 gilt [mm] \delta [/mm] = [mm] \delta_{0} \cdot \cos \phi [/mm] gilt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Di 24.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hab mal eine Zeichnung beigelegt und die Berechnung. Schau Dir das mal an, vielleicht hilft das ja weiter.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Skizze
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 25.05.2011 | | Autor: | JayvH |
Hallo,
erst einmal vielen Dank. Das sieht ja schon gut aus. Aber in dem Fall wir dieses rechtwinklige Dreieck aufgeschlagen, wenn man davon ausgeht, dass das Kreissegment (Radius Ri) in diesem Abstand als geradlinig angenommen wird, oder?
EDIT: Habe gerade noch einmal raufgeschaut. Leider ist in der 1. Zeile im letzten Term ein Fehler. Dort muß es [mm] \delta_0 [/mm] statt [mm] \delta [/mm] heißen, was den folgenden Schritt leider ins Leere laufen lässt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Mi 25.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich versteh nicht ganz wo ein FDehler sein soll.
Meine Ableitung ging davon aus, das näherungsweise für den äußeren Radius [mm] R_a=R_i+\bruch{\Delta_0}{2}+\delta [/mm] gilt. Das untere Dreieck in meiner Skizze ist ein gleichseitiges Dreieck in dem der Kreisbogen durch eine Gerade ersetzt wurde, so wie Du das auch verstanden hast. Das ergibt das obere rechtwinkelige Dreieck. Aus dem folgt dann die Formel
[mm] \delta=\bruch{\Delta}{2}*cos(\phi)-\bruch{\Delta_0}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 07.06.2011 | | Autor: | JayvH |
Sorry für die verspätete Rückmeldung.
Das Problem ist, das [mm] R_{a}=R_{i}+\bruch{\Delta}{2}+\delta_{0} [/mm] ist und nicht [mm] +\delta
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mi 08.06.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
also ich verstehe immer noch nicht was Du meinst. Ist bei Dir ein Fehler oder meinst Du ich habe einen Fehler gemacht? Also in meiner Skizze ist x näherungsweise [mm] \bruch{\Delta_0}{2}+\delta [/mm] und nicht [mm] \bruch{\Delta_0}{2}+\delta_0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mi 08.06.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] R_a=R_i+\bruch{\Delta_0}{2}
[/mm]
[mm] R_x=R_a+\delta
[/mm]
[mm] \bruch{\Delta}{2}=\bruch{\Delta_0}{2}+\delta_0
[/mm]
[mm] R_x [/mm] ist der Radius von [mm] M_a [/mm] bis zum Kreis um [mm] M_i
[/mm]
Der Winkel [mm] \gamma [/mm] zwischen dem Radius [mm] R_i [/mm] und [mm] R_a [/mm] am Schnittpunkt auf der Kreislinie um [mm] M_i [/mm] ist klein. Im Dreieck [mm] M_a, M_i [/mm] und dem Schnittpunkt auf der Kreislinie um [mm] M_i [/mm] gilt deshalb folgende Beziehung
[mm] 180-\varphi-\gamma\approx 180-\varphi
[/mm]
Anwendung des Kosinussatz ergibt
[mm] R_x^2=\left(\bruch{\Delta}{2}\right)^2+R_i^2-2*\bruch{\Delta}{2}*R_i*cos(180-\varphi)=\left(\bruch{\Delta}{2}\right)^2+R_i^2+\Delta*R_i*cos(\varphi)
[/mm]
[mm] R_x^2=R_a^2+2*R_a*\delta+\delta^2=\left(R_i+\bruch{\Delta_0}{2}\right)^2+2*\left(R_i+\bruch{\Delta_0}{2}\right)*\delta+\delta^2=R_i^2+R_i*\Delta_0+\left(\bruch{\Delta_0}{2}\right)^2+2*R_i*\delta+\Delta_0*\delta+\delta^2
[/mm]
also gilt
[mm] R_i^2+R_i*\Delta_0+\left(\bruch{\Delta_0}{2}\right)^2+2*R_i*\delta+\Delta_0*\delta+\delta^2=\left(\bruch{\Delta}{2}\right)^2+R_i^2+\Delta*R_i*cos(\varphi)
[/mm]
Vernachlässigung der Terme 2'ter Ordnung ergibt
[mm] R_i^2+R_i*\Delta_0+2*R_i*\delta=R_i^2+\Delta*R_i*cos(\varphi)
[/mm]
daraus folgt
[mm] R_i*\Delta_0+2*R_i*\delta=\Delta*R_i*cos(\varphi)
[/mm]
also
[mm] cos(\varphi)=\bruch{\Delta_0+2*\delta}{\Delta}=\bruch{\bruch{\Delta_0}{2}+\delta}{\bruch{\Delta}{2}}
[/mm]
also das verlangte Ergebnis.
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