Teil der Erdoberfläche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Teil der Erdoberfläche, der zwischen den östlichen Längen 30° und
60° sowie den nördlichen Breiten 45° und 60° liegt. ( Erdradius = 6400 km ) .
a) Stellen Sie dazu die beschriebene Fläche in Parameterdarstellung mit Hilfe von
räumlichen Polarkoordinaten dar und suchen sich eine passende Integralformel aus
einem Lehrbuch oder einer Formelsammlung.
b) Kontrollieren Sie das Ergebnis , indem Sie die Fläche als Teil einer Kugelzone
auffassen . |
Bildlich stelle ich mir das so vor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
zu a) [mm] $\vec{x}(\varphi, \gamma) =\begin{pmatrix} r * sin(\gamma)* cos(\varphi) \\ r * sin(\gamma) *sin(\varphi) \\ r * sin(\gamma) \end{pmatrix} (0\le \gamma \le \pi [/mm] , 0 [mm] \le \vaphi \le 2\pi [/mm] )$ Stimmt das?
Jetzt fehlt mir die passende Integralformel, kann mir da jemand behilflich sein?
b) Würde ich dann mit [mm] $A=2\pi [/mm] rh $ rechnen und dann mit [mm] $\bruch{30°}{360°}$ [/mm] multiplizieren?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo n0000b,
> Berechnen Sie den Teil der Erdoberfläche, der zwischen den
> östlichen Längen 30° und
> 60° sowie den nördlichen Breiten 45° und 60° liegt. (
> Erdradius = 6400 km ) .
> a) Stellen Sie dazu die beschriebene Fläche in
> Parameterdarstellung mit Hilfe von
> räumlichen Polarkoordinaten dar und suchen sich eine
> passende Integralformel aus
> einem Lehrbuch oder einer Formelsammlung.
> b) Kontrollieren Sie das Ergebnis , indem Sie die Fläche
> als Teil einer Kugelzone
> auffassen .
> Bildlich stelle ich mir das so vor:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> zu a) [mm]\vec{x}(\varphi, \gamma) =\begin{pmatrix} r * sin(\gamma)* cos(\varphi) \\ r * sin(\gamma) *sin(\varphi) \\ r * sin(\gamma) \end{pmatrix} (0\le \gamma \le \pi , 0 \le \vaphi \le 2\pi )[/mm]
> Stimmt das?
Nicht ganz.
Die Parameterdarstellung muß lauten:
[mm]\vec{x}(\varphi, \gamma) =\begin{pmatrix} r * \red{\cos}(\gamma)* cos(\varphi) \\ r * \red{\cos}(\gamma) *sin(\varphi) \\ r * sin(\gamma) \end{pmatrix} (0\le \gamma \le \pi , 0 \le \vaphi \le 2\pi )[/mm]
>
> Jetzt fehlt mir die passende Integralformel, kann mir da
> jemand behilflich sein?
Die Integralformel lautet in kartesischen Koordinaten:
[mm]A_{O}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{\integral_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}{\wurzel{1+f_{x}^{2}+f_ {y}^{2}} \ dy} \ dx}[/mm]
,wobei [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm] ist.
Betrachten wir die Gleichung der Kugel:
[mm]x^{2}+y^{2}+\left( \ f\left(x,y\right) \ \right)^{2}=r^{2}[/mm]
So erhält man durch partielle Differentiation
[mm]f_{x}=-\bruch{x}{f\left(x,y\right)}=-\bruch{x}{z}[/mm]
[mm]f_{y}=-\bruch{y}{f\left(x,y\right)}=-\bruch{y}{z}[/mm]
Eingesetzt in obige Integralformel ergibt:
[mm]A_{O}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{\integral_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}{\bruch{r}{f\left(x,y\right)} \ dy} \ dx}[/mm]
Diese Integralformel muß nun auf räumliche Polarkoordianten transformiert werden.
>
> b) Würde ich dann mit [mm]A=2\pi rh[/mm] rechnen und dann mit
> [mm]\bruch{30°}{360°}[/mm] multiplizieren?
Die Kugelzone ist ja der gekrümmte Teil der Oberfläche einer Kugelschicht.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Kugelschnitte
Gruß
MathePower
|
|
|
|
