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Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Fr 03.02.2017
Autor: rubi

Aufgabe
Prüfe, ob die Zahl [mm] 21^{39}+39^{21} [/mm] durch 45 teilbar ist.

Hallo zusammen,

ich habe folgende Umformung gemacht:
[mm] 3^{39}*7^{39}+3^{21}*13^{21} [/mm] = [mm] 3^{21}*(3^{18}*7^{39}+13^{21}) [/mm]

Eine Zahl ist durch 45 = 3*3*5 teilbar, wenn sie durch 9 und durch 5 teilbar ist.
Da ich [mm] 3^{21} [/mm] ausklammern kann, ist die Teilbarkeit durch 9 klar.
Nun müsste die Klammer durch 5 teilbar sein, richtig ?

Hat jemand eine Idee, wie man dies zeigen kann ?

Danke für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Fr 03.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Prüfe, ob die Zahl [mm]21^{39}+39^{21}[/mm] durch 45 teilbar ist.
> Hallo zusammen,

>

> ich habe folgende Umformung gemacht:
> [mm]3^{39}*7^{39}+3^{21}*13^{21}[/mm] =
> [mm]3^{21}*(3^{18}*7^{39}+13^{21})[/mm]
> Eine Zahl ist durch 45 = 3*3*5 teilbar, wenn sie durch 9
> und durch 5 teilbar ist.
> Da ich [mm]3^{21}[/mm] ausklammern kann, ist die Teilbarkeit durch 9
> klar.

Ja, das ist sicherlich ein möglicher Anfang.

> Nun müsste die Klammer durch 5 teilbar sein, richtig ?

>

> Hat jemand eine Idee, wie man dies zeigen kann ?

>

Mit Kongruenzrechnung. Die Restklassen von 3^18*7^39 und von 13^21 modulo 5 müssen addiert äquivalent zu [mm]0\ \textrm{mod}\ {5}[/mm] sein.

Ich würde aber von vornherein auf das Faktorisieren verzichten und stattdessen sofort versuchen nachzurechnen, ob

[mm] 21^{39}+39^{21} \equiv {0}\ \textrm{mod}\ {5} [/mm]

ist (was man einfach nachrechnet). Die Teilbarkeit durch 9 kann man auch hier mit der gleichen Logik begründen (beide Summanden sind offensichtlich durch 9 teilbar).


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Fr 03.02.2017
Autor: HJKweseleit

Die Teilbarkeit durch 5 lässt sich hier besonders einfach mit der Endziffernregel nachweisen:

[mm] 21^n [/mm] hat die Endziffer 1, was sich aus dem Multiplikationsalgorithmus ergibt.
[mm] 39^n [/mm] hat abwechselnd die Endziffer 9,1,9,1,... und zwar 9 für ungerades und 1 für gerades n.

Somit hat [mm] 21^{39} [/mm] die Endziffer 1, [mm] 39^{21} [/mm] die Endziffer 9 und damit [mm] 21^{39}+39^{21} [/mm] die Endziffer 0, ist also durch 5 teilbar.

Bezug
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