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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:19 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Eine Zahl besteht aus 81 Einsen. Man beweise, dass sie durch 81 teilbar ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Besteht sie nur aus $81$ Einsen oder können auch andere Ziffern vorkommen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ja, sie besteht nur aus Einsen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Also, wenn es sich wirklich um die Zahl [mm] $\sum\limits_{n=0}^{80} 10^n$ [/mm] handelt (also einfach die Zahl, die aus genau $81$ Einsen besteht), dann folgt die Behauptung aus:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{80} 10^n$
[/mm]
$= [mm] \frac{10^{81}-1}{10-1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{10^{81}-1}{10^9-1} \cdot \frac{10^9-1}{10-1}$
[/mm]
$= [mm] \left( \sum\limits_{i=0}^8 10^{9i} \right) \cdot \left( \sum\limits_{i=0}^8 10^{i} \right)$,
[/mm]
und der Tatsache, dass die beiden letztgenannten Faktoren die Quersumme $9$ haben (und damit beide durch $9$ teilbar sind).
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ja, wunderbar, das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es gab noch eine andere Lösung auf der Seite wo ich die Aufgabe herhabe, aber die ist auch nicht viel länger. Ist einfach eine schöne Aufgabe wie ich finde, daher habe ich sie kurz gestellt.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi Steffen, hi Hanno
Im Rechenen mit Summen (Termen mit Summensymbol) bin ich überhaupt nicht geübt und hab auch keinerlei Ahnung über grundlegende Identitäten oder Sätze. Daher hab ich bei deiner Lösung auch erst gestutzt.
Kann ich allgemein die Folgende Aussage als Rechenregel annehmen?
[mm]\sum\limits_{k=0}^{n} m^k =\frac{m^{k+1}-1}{m-1}[/mm]
Und gibt es noch andere Grundlegende Rechenregeln oder Identitäten, die beim Vereifachen oder Umformen von Termen mit Summensymbol hilfreich sein können?
Wär euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei Helfen könntet!
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Ja, die Vereinfachung, die Stefan verwendet hat, ist die sog. geometrische Summenformel. Sie leitet sich leicht wie folgt her:
(1) [mm] $s=1+x^1+x^2+...+x^n$
[/mm]
(2) [mm] $\gdw s\cdot x=x+x^2+...+x^{n+1}$
[/mm]
Ziehen wir (1) von (2) ab so erhalten wir
[mm] $s(x-1)=x^{n+1}-1$
[/mm]
[mm] $\gdw s=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\quad \left( =\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \right)$ [/mm] (letztere Form sieht man auch häufig)
Zum Summezeichen kann ich dir jetzt leider nichts sagen, da ich keine Zeit mehr habe. Ich suche vielleicht nacvhher nochmal, wenn noch niemand geantwortet hat.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Hanno
Vielen Dank für deine Antwort! (und die schöne Herleitung!!!!)
So macht Steffans Lösung plötzlich sinn und ist auch überhaupt nicht mehr verwirrend!
Nochmals DANKE
Gruß Samuel
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Hallo Samuel!
Also ich kenne die Summenformel etwas anders (es liegt wohl am Vorzeichen):
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Dies ist meines Wissens die geometrische Reihe, und die ist übrigens
[mm] \le \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Weitere Summenformeln müsstest du in einer Formelsammlung finden.
Viele Grüße
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Hi Bastiane
Erstmal auch Danke für deine Antwort, aber die Sache mit der Ungleichung will ich noch nicht ganz einsehen:
[mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm] [mm]\le \bruch{1}{1-q}[/mm]
Stellt nicht
[mm]\sum\limits_{n=0}^{80} 10^n[/mm] [mm]= \frac{10^{81}-1}{10-1}> -\frac{1}{9}[/mm]
ein Gegenbeispiel dar??? oder hab ich deine Ungleichung nicht richtig aufgefasst???
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
Du hast Recht, da hat sich Bastiane verhaspelt.
Die angesprochene Ungleichung gilt nur für $0 [mm] \le [/mm] q < 1$. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
HI Steffan
Wenn ich q auf das Intervall [0;1] eischränke ist die Aussage ja trivial.
So.........jetzt bin ich zufrieden und hör mit dieser ständigen Fragerei endlich auf  - weiß jetzt ja auch alles was ich wissen wollte.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
Ich habe ja auch nicht behauptet, dass sie dann nicht trivial ist (obwohl ich das Wort ja eigentlich vermeiden möchte) .
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Do 21.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Huhu!
> Ich habe ja auch nicht behauptet, dass sie dann nicht trivial ist (obwohl ich das Wort ja eigentlich vermeiden möchte) .
Ich zitiere hier mal den Beutelspacher:
"... Damit bezeichnet man Argumente oder Eigenschaften, die sich ohne jedes Zutun aus der Definition oder einem Satz ergeben. Beispiele:
Es ist trivial, dass jede Primzahl eine natürliche Zahl > 1 ist (Das steht ja in der Definition!)"
Ich versuche mich seit Kurzem eigentlich, daran zu halten und verwende dieses kleine Wörtchen auch immer weniger :)
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Samuel!
Also nochmal zu der Formel:
Ich hatte mir aufgeschrieben, dass es im Zähler [mm] 1-q^{n+1} [/mm] und nicht [mm] q^{n+1}-1, [/mm] und im Nenner ebenfalls, aber ich stelle gerade fest, dass das wohl auch nicht funktionieren würde.
Es kann jedoch sein, dass ich vergessen hatte, mir aufzuschreiben, dass diese Ungleichung nur für bestimmte x gilt, vielleicht für [mm] \left|x\right|<1 [/mm] oder so ähnlich.
Sorry, dass ich dir das jetzt auch nicht genau sagen, würde mich selber interessieren. Damals dachte ich, ich hätte es verstanden.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
Was Bastiane vermutlich meint (sonst verstehe ich die Antwort nicht):
Das hier
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{n} m^k =\frac{m^{k+1}-1}{m-1}[/mm]
von dir ist falsch (du hast dich vertippt).
Richtig muss es natürlich
[mm]\sum\limits_{k=0}^{n} m^k =\frac{m^{\red{n}+1}-1}{m-1}[/mm]
heißen.
Liebe Grüße
Stefan
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