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Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Di 17.07.2007
Autor: Theseus

Aufgabe
Man ermittle alle nichtnegativen ganzen Zahlen $n$, für die [mm] $9^n+1$ [/mm] durch $365$ teilbar ist.

Hallo,

zu zeigen ist also: [mm] $365~|~9^n+1$. [/mm]

Zunächst fällt auf, dass eine Potenz von $9$ für einen ganzzahligen Exponent immer ungerade ist, d.h. [mm] $9^n+1$ [/mm] ist gerade. Abgesehen von den Trivialteilern kann eine gerade Zahl aber nie eine ungerade Zahl als Teiler haben, also gibt es kein $n$... stimmt das so?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Teilbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Di 17.07.2007
Autor: Walde

Hi theseus,

>... Abgesehen von den Trivialteilern kann eine gerade

> Zahl aber nie eine ungerade Zahl als Teiler haben, also
> gibt es kein [mm]n[/mm]... stimmt das so?

Nein.
Gegenbeispiel: 3 teilt 6  

Wie man bei der Aufgabe zur Lösung kommt,hab ich mir aber noch nicht überlegt.

LG walde


Bezug
        
Bezug
Teilbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:29 Di 17.07.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

n=3; 9; 15; 18; 19; 20; 21; .....

Steffi

Bezug
        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Di 17.07.2007
Autor: korbinian

Hallo
es sind die natürlichen Zahlen n [mm] \equiv [/mm] 3 mod 6.
Beweis:
1. sei n [mm] \equiv [/mm] 3 mod 6 also n=6k+3, k natürliche Zahl. Dann [mm] 9^{n} [/mm] +1 = [mm] (9^{3})^{2k+1} [/mm] +1 =(2*365 - [mm] 1)^{2k+1} [/mm] +1 ist Vielfaches von 365 (binomische Formel)
2. 365 sei Teiler von [mm] 9^{n} [/mm] +1 zu zeigen n [mm] \equiv [/mm] 3 mod 6
Führe Widerspruchsbeweis und verwende Punkt 1
Gruß korbinian

Bezug
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