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| Aufgabe | | Beweisen Sie, aus [mm] $a^2+b^2=c^2$ [/mm] folgt 12|ab und 60|abc. |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich habe hier folgenden Ansatz und wollte wissen, ob dieser korrekt ist.
$12|ab [mm] \iff 12=q_1*ab$ [/mm] und
$60|abc [mm] \iff 60=q_2*abc$
[/mm]
Diese Gleichungen unterscheiden sich um den Faktor 5.
[mm] $\Rightarrow [/mm] c=5$
[mm] $\Rightarrow\forall k\in\IZ, \exists [/mm] k: [mm] k(3^2+4^2)=k*5^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 12|ab\wedge [/mm] 60|abc$
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 So 09.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beweis stimmt nur für sehr spezielle pythagoreische Tripel, ist also nicht allgemeingültig
Gruß leduart
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Hallo leduart,
ich schließe aus deiner Anmerkung, dass ich prüfen muss, ob es mehrere Tripel (a, b, 5) gibt.
Ok, die Formel lautet: [mm] $\forall u,v\in\IN:u>v$ [/mm] gilt: [mm] $a=u^2-v^2, [/mm] b=2uv, [mm] c=u^2+v^2$.
[/mm]
Sei $c= [mm] 5=u^2+v^2\iff v^2=5-u^2\Rightarrow a=2u^2-5 \Rightarrow b=2\sqrt{5-v^2}*\sqrt{5-u^2}$
[/mm]
Also kommt folgendes Tripel heraus [mm] $(2u^2-5, 2\sqrt{5-v^2}*\sqrt{5-u^2}, [/mm] 5)$. Für u=2 und v=1 kommt (3, 4, 5) heraus. Muss ich noch etwas berücksichtigen oder geht das in Ordnung?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 So 09.06.2013 | | Autor: | CJcom |
Hallo Christoph,
> Hallo leduart,
>
> ich schließe aus deiner Anmerkung, dass ich prüfen muss,
> ob es mehrere Tripel (a, b, 5) gibt.
> Ok, die Formel lautet: [mm]\forall u,v\in\IN:u>v[/mm] gilt:
> [mm]a=u^2-v^2, b=2uv, c=u^2+v^2[/mm].
>
> Sei [mm]c= 5=u^2+v^2\iff v^2=5-u^2\Rightarrow a=2u^2-5 \Rightarrow b=2\sqrt{5-v^2}*\sqrt{5-u^2}[/mm]
>
> Also kommt folgendes Tripel heraus [mm](2u^2-5, 2\sqrt{5-v^2}*\sqrt{5-u^2}, 5)[/mm].
> Für u=2 und v=1 kommt (3, 4, 5) heraus. Muss ich noch
> etwas berücksichtigen oder geht das in Ordnung?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Wieso sollte c=5 sein? Wenn du deine 1. Gleichung anschaust:
12= [mm] q_1*ab
[/mm]
wird diese z.B. durch a=1, b=2 und [mm] q_1=6 [/mm] erfüllt.
Schaut man nun die zweite an, hat man:
[mm] 60=q_2*abc [/mm] also
[mm] 60=q_2*2*c
[/mm]
Dies wird z.B. auch durch [mm] q_2=10 [/mm] und c=3 erfüllt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 09.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, aus [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] folgt 12|ab und 60|abc.
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich habe hier folgenden Ansatz und wollte wissen, ob dieser
> korrekt ist.
>
> [mm]12|ab \iff 12=q_1*ab[/mm] und
> [mm]60|abc \iff 60=q_2*abc[/mm]
>
> Diese Gleichungen unterscheiden sich um den Faktor 5.
>
> [mm]\Rightarrow c=5[/mm]
> [mm]\Rightarrow\forall k\in\IZ, \exists k: k(3^2+4^2)=k*5^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 12|ab\wedge 60|abc[/mm]
>
Nein. Es gilt auch [mm] $5^2+12^2=13^2$, [/mm] und 13 ist nicht gleich 5 und ist auch nicht durch 5 teilbar.
Worum es tatsächlich geht:
mindestens einer der Faktoren a, b ist durch 3 teilbar und mindestens einer der Faktoren a,b ist auch durch 4 teilbar.
Dazu kommt am Ende noch: Zeige, dass irgendeiner der Faktoren a, b, c durch 5 teilbar ist.
Tipp: betrachte die möglichen Reste von Quadratzahlen mod 3, mod 4 und mod 5.
Gruß Abakus
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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