Teilbarkeit durch 7 < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Sa 29.10.2016 | | Autor: | Calculu |
Wenn ich die Teilbarkeit einer Zahl durch 7 prüfen will, kann ich folgende Regel anwenden:
Letzte Ziffer der Zahl streichen, allerdings merken und mit 2 multiplizeren und von der restlichen Zahl abziehen.
Beispiel:
322 -> 32-(2*2) = 28
28 ist durch 7 tb., also ist auch 322 durch 7 teilbar.
Mir ist allerdings unklar wieso dieses Verfahren funktioniert. Ich habe es mit Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten probiert aber mir will keine gescheite Erklärung einfallen.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
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sei x, [mm] c\in \mathbb{Z}
[/mm]
$x$ mod $10=a$
[mm] $b=\frac{x-a}{10}$
[/mm]
$b-(2*a)=7*c$
So würde ich einen Beweisanfang formulieren.
Möchtest/Kannst du von hier aus selber weitermachen?
Wenn es allerdings nicht stimmt, gibt es (mit hoher Wahrscheinlichkeit) auch ein kleines Gegenbeispiel (<1000)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:11 Sa 29.10.2016 | | Autor: | Calculu |
> sei x, [mm]c\in \mathbb{Z}[/mm]
>
> [mm]x[/mm] mod [mm]10=a[/mm]
>
> [mm]b=\frac{x-a}{10}[/mm]
>
> [mm]b-(2*a)=7*c[/mm]
>
> So würde ich einen Beweisanfang formulieren.
>
> Möchtest/Kannst du von hier aus selber weitermachen?
Vielen Dank schonmal für deine Mühe.
Formal wird es mir so klar, denn:
[mm] \frac{x-a}{10}-(2*a)=7*c
[/mm]
x-21*a=70*c
x = 21*a+70*c
x = 7*(3*a+10*c)
Setze q:=(3*a+10*c)
q [mm] \in \IZ
[/mm]
x=q*7 also 7|x
Fertig.
Wenn ist dies nun aber einem Schüler (Unter- oder Mittelstufe) erklären sollte würde mir dieser Beweis nicht gefallen. Vl hat jemand noch eine anschauliche Lösung.
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> Wenn es allerdings nicht stimmt, gibt es (mit hoher
> Wahrscheinlichkeit) auch ein kleines Gegenbeispiel (<1000)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Sa 29.10.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Also für Schüler der 8. Klasse (Mittelstufe) dürfte das, mit ein wenig Erläuterung verständlich sein.
Die Form des Beweises wird für die vermutlich neu sein, aber je früher desto besser.
Allerdings ist mir jetzt nicht klar, warum die Formel gilt, denn angenommen x ist nicht durch 7 teilbar. (anders: wähle x mit x mod [mm] 7\not=0)
[/mm]
Was käme denn dann raus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Sa 29.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\frac{x-a}{10}-(2*a)=7*c[/mm]
> x-21*a=70*c
> x = 21*a+70*c
> x = 7*(3*a+10*c)
>
> Setze q:=(3*a+10*c)
> q [mm]\in \IZ[/mm]
>
> x=q*7 also 7|x
>
> Fertig.
Du hast überlegt: Wenn $7$ die nach dem Verfahren gebildete Zahl teilt, dann auch die ursprüngliche Zahl.
Noch zu zeigen wäre die andere Richtung: Wenn 7 die ursprüngliche Zahl teilt, teilt 7 auch die nach dem Verfahren gebildete Zahl.
> Wenn ist dies nun aber einem Schüler (Unter- oder
> Mittelstufe) erklären sollte würde mir dieser Beweis
> nicht gefallen. Vl hat jemand noch eine anschauliche
> Lösung.
Diesen Teil muss ich leider offen lassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 31.10.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 29.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Calculu!
Ich orientiere mich am Wikipedia-Beweis:
Sei n die natürliche Zahl, die wir auf Teilbarkeit prüfen wollen. Sei b die letzte Stelle dieser Zahl in der Dezimaldarstellung und a die aus den übrigen Stellen gebildete Zahl.
Dann gilt $n=10*a+b$.
Dann teilt 7 die Zahl n genau dann, wenn 7 die Zahl $2n=20a+2b=21a-(a-2b)$ teilt.
Wegen $7|21a$ teilt also $7$ die Zahl n genau dann, wenn 7 die Zahl $a-2b$ teilt.
Einen für Unterstufenschüler verständlichen Beweis habe ich nicht gefunden.
Viele Grüße
Tobias
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