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Teilbarkeit folgern: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Do 21.01.2021
Autor: sancho1980

Hallo,

ich habe hier einen Knoten im Kopf. Ich habe gegeben $a, b [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] und $m [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit $m > 1$. Ich soll zeigen (oder widerlegen), dass [mm] a^2 \equiv b^2\ (\textrm{mod}\ [/mm] m) [mm] \Rightarrow [/mm] (a [mm] \equiv [/mm] b [mm] (\textrm{mod}\ [/mm] m)) [mm] \lor [/mm] (a [mm] \equiv [/mm] -b [mm] (\textrm{mod}\ [/mm] m)).

Jetzt wollte ich schreiben, dass weil [mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = (a + b)(a - b) = km$ für ein $k [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] entweder $m [mm] \vert [/mm] a + b$ oder $m [mm] \vert [/mm] a - b$ gelten muss. Aber halt, aus $m [mm] \vert [/mm] xy$ folgt ja nicht automatisch $(m [mm] \vert [/mm] x) [mm] \lor [/mm] (m [mm] \vert [/mm] y)$, denn schließlich ist auch der Fall $m = xy$ möglich.

Mein nächster Gedanke war: Wenn $a + b = km + r$ mit $0 [mm] \le [/mm] r < m$ für ein $k [mm] \in \mathbb{Z}$, [/mm] dann gilt $a - b = lm + m - r = om - r$ für ein $l [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] und $o = l + 1$, also $m [mm] \vert a^2 [/mm] - [mm] b^2$ [/mm] und [mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = (km + r)(om - r) = [mm] kom^2 [/mm] - kmr + omr - [mm] r^2$, [/mm] und es muss gelten, dass $m [mm] \vert r^2$. [/mm] Aber auch hier die Frage: Folgt nun aus $m [mm] \vert r^2$, [/mm] dass $(m [mm] \vert [/mm] r) [mm] \lor [/mm] (m [mm] \vert [/mm] -r)$? Ist nicht auch $m = [mm] r^2$ [/mm] möglich?

Irgendwie bin ich selbst nicht ganz überzeugt. Was übersehe ich?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Teilbarkeit folgern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Do 21.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das offensichtlichste mal zuerst:

> Mein nächster Gedanke war: Wenn [mm]a + b = km + r[/mm] mit [mm]0 \le r < m[/mm]

[…]

> Frage: Folgt nun aus [mm]m \vert r^2[/mm], dass [mm](m \vert r) \lor (m \vert -r)[/mm]?

Siehst du es selbst? Wie soll m|r gelten, wenn r<m?

> Jetzt wollte ich schreiben, dass weil [mm]a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = km[/mm]
> für ein [mm]k \in \mathbb{Z}[/mm] entweder [mm]m \vert a + b[/mm] oder [mm]m \vert a - b[/mm] gelten muss. Aber halt, aus [mm]m \vert xy[/mm] folgt ja nicht
> automatisch [mm](m \vert x) \lor (m \vert y)[/mm], denn schließlich
> ist auch der Fall [mm]m = xy[/mm] möglich.

Das dürfte auch der Ansatz sein, wie du ein Gegenbeispiel konstruieren kannst…
Und du hast eigentlich schon alles aufgeschrieben.

Es gilt nämlich:
[mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = (a + b)(a - b) = 0 [mm] \text{ mod } [/mm] m$

Nun ist die Sache klar, wenn $m$ eine Primzahl ist. Denn dann ist Z/mZ ein Körper, damit nullteilerfrei und es folgt:
$(a + b)(a - b) = 0 [mm] \gdw [/mm] (a+b) = 0 [mm] \vee [/mm] (a-b) = 0$  und du wärst fertig.

Aber: Ist Z/mZ NICHT nullteilerfrei, so kann $(a+b)(a-b) = 0$ gelten obwohl $(a+b) [mm] \not=0 \wedge [/mm] (a-b) [mm] \not=0$. [/mm]

Finde also m so, dass Z/mZ nicht nullteilerfrei ist (insbesondere kann m dann keine Primzahl sein…)
Dann existiert dort auf jeden Fall ein Gegenbeispiel, denn dann gibt es [mm] $x\not= [/mm] 0$ und [mm] $y\not=0$ [/mm] an mit [mm] $x\cdot [/mm] y = 0$ und dein Gegenbeispiel erhältst du dann durchs Lösen des Gleichungssystems $a+b = x, a-b=y$

Gruß,
Gono

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