Teilbarkeits-Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Sa 03.11.2007 | | Autor: | schapp |
| Aufgabe | Seien k, n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie induktiv, dass (kn)! durch [mm] (k!)^{n} [/mm] teilbar ist.
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Ich hänge schon seit Tagen über dieser Induktion, der Induktionsanfang ist klar, aber ich bekomme die Terme nie so umgeformt, dass ich etwas mit der Ind.-Voraussetzung anfangen kann, da sich der Divisor beim Induktionsschritt ja auch ändert. Außerdem ist mir auch nicht klar, ob ich überhaupt nach k oder n oder beiden induzieren soll..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien k, n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie induktiv, dass (kn)! durch
> [mm](k!)^{n}[/mm] teilbar ist.
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> Ich hänge schon seit Tagen über dieser Induktion, der
> Induktionsanfang ist klar, aber ich bekomme die Terme nie
> so umgeformt, dass ich etwas mit der Ind.-Voraussetzung
> anfangen kann, da sich der Divisor beim Induktionsschritt
> ja auch ändert. Außerdem ist mir auch nicht klar, ob ich
> überhaupt nach k oder n oder beiden induzieren soll..
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
nimm k beliebig, aber fest und mach eine Induktion über n.
Zeig doch mal, wie weit Du gekommen bist. Ohne etwas zu sehen, kann man so wenig sagen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 03.11.2007 | | Autor: | schapp |
wie bereits erwähnt, habe ich den induktionsanfang fertig und dann für n n+1 eingesetzt. zu zeigen ist also
(k(n+1))! ist teilbar durch [mm] (k!)^{n+1}
[/mm]
das habe ich umgeformt zu
(kn+k)! ist teilbar durch [mm] (k!)^{n}*(k!)
[/mm]
nun weiß ich aber nicht, wie ich die induktionsvoraussetzung benutzen kann..
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> wie bereits erwähnt, habe ich den induktionsanfang fertig
> und dann für n n+1 eingesetzt. zu zeigen ist also
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> (k(n+1))! ist teilbar durch [mm](k!)^{n+1}[/mm]
>
> das habe ich umgeformt zu
>
> (kn+k)! ist teilbar durch [mm](k!)^{n}*(k!)[/mm]
>
> nun weiß ich aber nicht, wie ich die
> induktionsvoraussetzung benutzen kann..
Hallo,
ich dachte, Du hättest schon etwas gerechnet.
Dieses "ist teilbar" ist ja ganz entsetzlich unhandlich.
Du kannst das anders formulieren, so, daß Du damit rechnen kannst:
statt (nk)! ist teilbar durch [mm] (k!)^n
[/mm]
schreibe lieber
es ist (nk)! = z* [mm] (k!)^n [/mm] für ein [mm] z\in \IZ
[/mm]
oder
[mm] \bruch{ (nk)!}{(k!)^n}= [/mm] z für ein [mm] z\in \IZ.
[/mm]
Damit kannst Du nämlich richtig rechnen.
Den Induktionsschluß kannst Du dann so starten:
Es ist
(k(n+1))!=(kn+k)!= (kn)!(kn+1)(kn+2)*...*(kn+k) = nun die Induktionsvoraussetzung, und dann schau mal, ob Du Dich weiter durchwurschteln kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:44 So 04.11.2007 | | Autor: | anjka82 |
kannst du d.Lösung zu dieser Aufgabe einbisschen genauer erklären?
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> kannst du d.Lösung zu dieser Aufgabe einbisschen genauer
> erklären?
Hallo,
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Wie weit bist Du bisher denn gekommen?
Wo liegt Dein Problem?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 04.11.2007 | | Autor: | anjka82 |
wie kommst du da drauf?
(k(n+1))!=(kn+k)!= (kn)!(kn+1)(kn+2)*...*(kn+k) ???
und was man weiter macht verstehe ich auch nicht
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> wie kommst du da drauf?
>
> (k(n+1))!=(kn+k)!= (kn)!(kn+1)(kn+2)*...*(kn+k) ???
>
> und was man weiter macht verstehe ich auch nicht
Hallo,
da oben verwende ich die Def. der Fakultät.
Es ist ja m! := 1*2*3*...*(m-1)*m.
Wenn ich (kn+k)! berechnen möchte, muß ich also aulle Zahlen von 1 bis (kn+k) miteinander mutiplizieren,
also (kn+k)!=1*2*...* (kn+k-1)*(kn+k)
Irgendwo zwischen 1 und (kn+k) wird der Faktor kn liegen, also
...=1*2*...* kn* (kn+1)*(kn+2)*...*(kn+k-1)*(kn+k)
Nun hat man vorne alle Zahlen von 1 bis kn miteinander multipliziert, und das ist definitionsgemaß (kn)!, also
=(kn)!*(kn+1)*(kn+2)*...*(kn+k-1)*(kn+k).
An dieser Stelle kann man dann bereits die Induktionsvoraussetzung einsetzen, und dann muß man sich überlegen , daß in dem verbleibenden Produkt der Faktor k! steckt.
Gruß v. Angela
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Bei der vollst. Ind. musst du immer den Ausdruck für n+1 hinschreiben und dann daraus den Ausdruck für n "extrahieren":
(k(n+1))!= (kn+k)!=1*2*...*kn*(kn+1)(kn+2)...(kn+k)
= (kn)!(kn+1)(kn+2)...(kn+k) |jetzt I.-V.
= [mm] z*(k!)^n*(kn+1)(kn+2)...(kn+k)
[/mm]
Behauptung: in (kn+1)(kn+2)...(kn+k) steckt noch mal der Faktor k!. Damit lässt sich dann (k(n+1))! als [mm] z*(k!)^{n+1}*z_1 [/mm] schreiben, und der Beweis wäre fertig.
(kn+1)(kn+2)...(kn+k) hat genau k Faktoren (nimm den 2. Summanden in jeder Klammer als "Zähler"), die immer um 1 ansteigen.
Wenn du k aufeinanderfolgende Zahlen hinschreibst, ist jede 2. durch 2, jede 3. durch 3, jede 4. durch 4 ... jede k. durch k teilbar. Also kannst du die Faktoren 1, 2, 3,...k herausziehen und zu k! zusammensetzen.
Vorsicht:
Bei den 7 aufeinanderfolgenden Zahlen 16, 17, 18, 19, 20, 21 und 22 steckt in 21 die 7, in 18 die 6, in 20 die 5, in 16 die 4, in 21 (hoppla, die hatten wir schon, aber 18 können wir nicht nehmen) die 3, in 22 die 2 und in jeder die 1.
Was du also noch in diesen Beweis selber reinstecken musst, ist die Überlegung, dass du auch (wie hier bei 21) dann jeden Faktor von 1 bis k herausziehen kannst, wenn die Zahl schon "angeknabbert" ist. Das überlasse ich dir noch...
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