Teilbarkeitsbeweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a≥1 und b≥1 teilerfremde natürliche Zahlen. Beweisen Sie:
[mm] ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=1 [/mm] oder [mm] ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=3 [/mm] |
Hey Leute,
Also bisher hab ich folgendes:
[mm] ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=d
[/mm]
d|a+b und [mm] d|a^2+b^2-ab
[/mm]
Aus d|a+b folgt a+b=n*d <=> [mm] a^2+2ab+b^2=n^2*d^2 [/mm] (i)
Aus [mm] d|a^2+b^2-ab [/mm] folgt [mm] a^2+b^2-ab=n*d [/mm] (ii)
Folgt (i)+(ii)
[mm] 2a^2+2b^2+ab=n^2*d^2+n*d=d(n^2*d+n) [/mm] => [mm] d|2a^2+2b^2+ab
[/mm]
(i)-(ii)
[mm] 3ab=n^2*d^2-n*d=d(n^2*d-n) [/mm] => d|3ab
aus d|3ab weiß ich nun, dass d die Teiler 1,3,3a,3b,a,b,ab haben kann. 1,3 hab ich nun identifiziert, wie aber schließe ich die anderen Teiler (3a,3b,a,b,ab) aus ...?
Die Verwendung von ggT(a,b)=1 ist natürlich auch klar, aber wie und welcher Stelle? Ich bitte um Tricks ;)
Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Do 14.01.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Daniel,
bitte gib bei allen deinen Aufgaben den direkten Link zu den Fragen an, die du in anderen Foren gestellt hast. So lässt sich Doppelarbeit (in beiden Foren) vermeiden.
> Seien a≥1 und b≥1 teilerfremde natürliche Zahlen.
> Beweisen Sie:
>
> [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=1[/mm] oder [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=3[/mm]
> Hey Leute,
>
> Also bisher hab ich folgendes:
>
> [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=d[/mm]
>
> d|a+b und [mm]d|a^2+b^2-ab[/mm]
>
> Aus d|a+b folgt a+b=n*d <=> [mm]a^2+2ab+b^2=n^2*d^2[/mm] (i)
>
> Aus [mm]d|a^2+b^2-ab[/mm] folgt [mm]a^2+b^2-ab=n*d[/mm] (ii)
>
> Folgt (i)+(ii)
> [mm]2a^2+2b^2+ab=n^2*d^2+n*d=d(n^2*d+n)[/mm] => [mm]d|2a^2+2b^2+ab[/mm]
>
> (i)-(ii)
> [mm]3ab=n^2*d^2-n*d=d(n^2*d-n)[/mm] => d|3ab
>
> aus d|3ab weiß ich nun, dass d die Teiler 1,3,3a,3b,a,b,ab
> haben kann.
Das ist völliger Quatsch. Was willst du mit den Teilern von d anfangen? Da hast du den Tipp im anderen Forum durch deine eigene Formulierung entstellt.
In dem anderen Forum wurde von den Teilern von 3ab gesprochen und dort behauptet, diese seien [mm] $\{1,3,3a,3b,a,b,ab\}$. [/mm] Das stimmt so wie dort behauptet leider auch nicht, denn 3ab kann natürlich noch weitere Teiler haben (nämlich z.B. alle Teiler von a, usw.)
Stattdessen kann man zeigen, dass [mm] $d|3a^2$ [/mm] und [mm] $d|3b^2$. [/mm] Probiere das mal selbst, wie man darauf kommt.
Da a und b teilerfremd sind kann man nun folgern, dass $d|3$ und ist fertig.
Viele Grüße,
Marc
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> Hallo Daniel,
>
> bitte gib bei allen deinen Aufgaben den direkten Link zu
> den Fragen an, die du in anderen Foren gestellt hast. So
> lässt sich Doppelarbeit (in beiden Foren) vermeiden.
Ja, geht in Ordnung. Ich fänds nur komisch, vllt eine Erklärung durch eine andere erklären zulassen, ab und zu ist es doch von Vorteil das Problem von verschiedenen Perspektiven zu beleuten. Damit hinter geht man doch nichts und es hilft auf unterschiedliche Gedanken zukommen.
> > Seien a≥1 und b≥1 teilerfremde natürliche Zahlen.
> > Beweisen Sie:
> >
> > [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=1[/mm] oder [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=3[/mm]
> > Hey Leute,
> >
> > Also bisher hab ich folgendes:
> >
> > [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=d[/mm]
> >
> > d|a+b und [mm]d|a^2+b^2-ab[/mm]
> >
> > Aus d|a+b folgt a+b=n*d <=> [mm]a^2+2ab+b^2=n^2*d^2[/mm] (i)
> >
> > Aus [mm]d|a^2+b^2-ab[/mm] folgt [mm]a^2+b^2-ab=n*d[/mm] (ii)
> >
> > Folgt (i)+(ii)
> > [mm]2a^2+2b^2+ab=n^2*d^2+n*d=d(n^2*d+n)[/mm] => [mm]d|2a^2+2b^2+ab[/mm]
> >
> > (i)-(ii)
> > [mm]3ab=n^2*d^2-n*d=d(n^2*d-n)[/mm] => d|3ab
> >
> > aus d|3ab weiß ich nun, dass d die Teiler 1,3,3a,3b,a,b,ab
> > haben kann.
>
> Das ist völliger Quatsch. Was willst du mit den Teilern
> von d anfangen? Da hast du den Tipp im anderen Forum durch
> deine eigene Formulierung entstellt.
> In dem anderen Forum wurde von den Teilern von 3ab
> gesprochen und dort behauptet, diese seien
> [mm]\{1,3,3a,3b,a,b,ab\}[/mm]. Das stimmt so wie dort behauptet
> leider auch nicht, denn 3ab kann natürlich noch weitere
> Teiler haben (nämlich z.B. alle Teiler von a, usw.)
Natürlich ist das Quatsch..Ich meinte das "Richtige" habe aber es aber falsch hingeschrieben...Die Teiler von d interessieren ja niemanden ;)
> Stattdessen kann man zeigen, dass [mm]d|3a^2[/mm] und [mm]d|3b^2[/mm].
> Probiere das mal selbst, wie man darauf kommt.
Nach wirklich langer Überlegung komme ich leider nur auf
[mm] d|3a^2+3b^2 [/mm] also [mm] d|3(a^2+b^2) [/mm]
Und von [mm] d|3a^2+3b^2 [/mm] liegt ja schon ziemlich nah an: [mm] d|3a^2 [/mm] und [mm] d|3b^2 [/mm] ...Hm naja knapp daneben ist auf vorbei :/
Gib es vllt an dieser Stelle einen Trick oder so?^^
> Da a und b teilerfremd sind kann man nun folgern, dass [mm]d|3[/mm]
> und ist fertig.
Wieso folgt aus [mm] d|3a^2 [/mm] und [mm] d|3b^2 [/mm] mit ggT(a,b)=1 => d|3??
Mir fällt an dieser Steller nur nur den Satz, a|b*c mit ggT(a,b)=1 => a|c
> Viele Grüße,
> Marc
Liebe Grüße & Vielen Dank für die kleine Lektion ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Daniel,
> > bitte gib bei allen deinen Aufgaben den direkten Link zu
> > den Fragen an, die du in anderen Foren gestellt hast. So
> > lässt sich Doppelarbeit (in beiden Foren) vermeiden.
>
> Ja, geht in Ordnung. Ich fänds nur komisch, vllt eine
> Erklärung durch eine andere erklären zulassen, ab und zu
> ist es doch von Vorteil das Problem von verschiedenen
> Perspektiven zu beleuten. Damit hinter geht man doch nichts
> und es hilft auf unterschiedliche Gedanken zukommen.
In der Theorie vielleicht schon, in den meisten Fällen werden so aber einfach Diskussionen doppelt geführt. Und auf unterschiedliche Gedanken kommt man durchaus auch in einer Diskussion, da sich mehrere Diskutanten beteiligen können.
> > > Seien a≥1 und b≥1 teilerfremde natürliche Zahlen.
> > > Beweisen Sie:
> > >
> > > [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=1[/mm] oder [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=3[/mm]
> > > Hey Leute,
> > >
> > > Also bisher hab ich folgendes:
> > >
> > > [mm]ggT(a+b,a^2+b^2-ab)=d[/mm]
> > >
> > > d|a+b und [mm]d|a^2+b^2-ab[/mm]
> > >
> > > Aus d|a+b folgt a+b=n*d <=> [mm]a^2+2ab+b^2=n^2*d^2[/mm] (i)
> > >
> > > Aus [mm]d|a^2+b^2-ab[/mm] folgt [mm]a^2+b^2-ab=n*d[/mm] (ii)
> > >
> > > Folgt (i)+(ii)
> > > [mm]2a^2+2b^2+ab=n^2*d^2+n*d=d(n^2*d+n)[/mm] =>
> [mm]d|2a^2+2b^2+ab[/mm]
> > >
> > > (i)-(ii)
> > > [mm]3ab=n^2*d^2-n*d=d(n^2*d-n)[/mm] => d|3ab
> > >
> > > aus d|3ab weiß ich nun, dass d die Teiler 1,3,3a,3b,a,b,ab
> > > haben kann.
> >
> > Das ist völliger Quatsch. Was willst du mit den Teilern
> > von d anfangen? Da hast du den Tipp im anderen Forum durch
> > deine eigene Formulierung entstellt.
> > In dem anderen Forum wurde von den Teilern von 3ab
> > gesprochen und dort behauptet, diese seien
> > [mm]\{1,3,3a,3b,a,b,ab\}[/mm]. Das stimmt so wie dort behauptet
> > leider auch nicht, denn 3ab kann natürlich noch weitere
> > Teiler haben (nämlich z.B. alle Teiler von a, usw.)
>
> Natürlich ist das Quatsch..Ich meinte das "Richtige" habe
> aber es aber falsch hingeschrieben...Die Teiler von d
> interessieren ja niemanden ;)
Sortiere doch vielleicht erstmal deine Gedanken und poste dann.
> > Stattdessen kann man zeigen, dass [mm]d|3a^2[/mm] und [mm]d|3b^2[/mm].
> > Probiere das mal selbst, wie man darauf kommt.
>
> Nach wirklich langer Überlegung komme ich leider nur auf
>
> [mm]d|3a^2+3b^2[/mm] also [mm]d|3(a^2+b^2)[/mm]
>
> Und von [mm]d|3a^2+3b^2[/mm] liegt ja schon ziemlich nah an: [mm]d|3a^2[/mm]
> und [mm]d|3b^2[/mm] ...Hm naja knapp daneben ist auf vorbei :/
> Gib es vllt an dieser Stelle einen Trick oder so?^^
Ja, der heißt umformen und einsetzen 
Du hast doch oben die beiden Gleichungen (i) und (ii) gebracht. Übrigens ist das n der ersten Gleichung i.A. unterschiedlich von dem n in der zweiten Gleichung und sollte daher anders benannt werden. Hier also die korrigierten Gleichungen
Aus $d|a+b$ folgt $a+b=n*d$ (i)
Aus [mm] $d|a^2+b^2-ab$ [/mm] folgt [mm] $a^2+b^2-ab=m*d$ [/mm] (ii)
Löse (i) mal nach a oder b auf und setze in (ii) ein.
> > Da a und b teilerfremd sind kann man nun folgern, dass [mm]d|3[/mm]
> > und ist fertig.
>
> Wieso folgt aus [mm]d|3a^2[/mm] und [mm]d|3b^2[/mm] mit ggT(a,b)=1 => d|3??
> Mir fällt an dieser Steller nur nur den Satz, a|b*c mit
> ggT(a,b)=1 => a|c
Den können wir nicht ohne weiteres anwenden, da d und a (bzw. d und b) nicht unbedingt teilerfremd sein müssen.
Mir fällt im Augenblick nur eine Fallunterscheidung ein, nämlich
Fall 1: $3|d$
Dann folgt aus [mm] $d|3a^2$ $\Rightarrow$ $3a^2=d*x$ $\Rightarrow$ $a^2=\frac{d}3 [/mm] x$ und ebenso [mm] $b^2=\frac{d}3 [/mm] y$
[mm] $\Rightarrow\ \frac{d}3|a^2$ [/mm] und [mm] $\frac{d}3|b^2$
[/mm]
Wegen [mm] $\ggT(a^2,b^2)=1$ [/mm] folgt daher [mm] $\frac{d}3=1$, [/mm] also $d=3$
Fall 2: [mm] $3\not|d$
[/mm]
Dann ist ggT(d,3)=1, du kannst deinen Satz anwenden und erhältst: [mm] $d|a^2$ [/mm] und [mm] $d|b^2$, [/mm] woraus wie in Fall 1 folgt: $d=1$.
Viele Grüße,
Marc
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> Hallo Daniel,
>
> Hier also die
> korrigierten Gleichungen
>
> Aus [mm]d|a+b[/mm] folgt [mm]a+b=n*d[/mm] (i)
> Aus [mm]d|a^2+b^2-ab[/mm] folgt [mm]a^2+b^2-ab=m*d[/mm] (ii)
>
> Löse (i) mal nach a oder b auf und setze in (ii) ein.
Okay, eine meiner Rechnungen sieht so aus:
a=n*d-b in [mm] a^2+b^2-ab=m*d [/mm] eingesetzt
=> [mm] (nd-b)^2+b^2-b(nd-b)=md [/mm]
<=> [mm] b*(nd-b)^2+b^3-b^2(nd-b)^2=md*b
[/mm]
<=> [mm] (nd-b)^2*(b-b^2)=md*b-b^3
[/mm]
<=> [mm] (nd-b)^2*b*(1-b)=b*(md-b^2)
[/mm]
<=> [mm] (nd-b)^2*(1-b)=md-b^2
[/mm]
Naja ab hier rechne ich die ganze Zeit verflixt falsch :/
(wäre es denn bisher hin richtig?)
Meine Idee:
Aus [mm]d|a+b[/mm] folgt [mm]a+b=n*d[/mm] (i)
Aus [mm]d|3ab[/mm] folgt [mm]3ab=m*d[/mm] (ii)
Einsetzungsverfahren: (I) in (II)
a=n*d-b in 3ab=m*d eingesetzt
3(n*d-b)*b=m*d <=> [mm] 3ndb-3b^2=m*d [/mm] <=> [mm] 3b^2=3bnd-md [/mm]
<=> [mm] 3b^2=d(3bn-m) [/mm] wobei ich angenehme, dass 3bn-m [mm] \in\IN [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] ist
und somit die Folgerung => [mm] d|3b^2 [/mm] erlaubt wäre. Das selbe Spiel mit b=n*d-a anwenden.
Geht das so in Ordnung?
> > > Da a und b teilerfremd sind kann man nun folgern, dass [mm]d|3[/mm]
> > > und ist fertig.
> >
> > Wieso folgt aus [mm]d|3a^2[/mm] und [mm]d|3b^2[/mm] mit ggT(a,b)=1 => d|3??
> > Mir fällt an dieser Steller nur nur den Satz, a|b*c
> mit
> > ggT(a,b)=1 => a|c
>
> Den können wir nicht ohne weiteres anwenden, da d und a
> (bzw. d und b) nicht unbedingt teilerfremd sein müssen.
>
> Mir fällt im Augenblick nur eine Fallunterscheidung ein,
> nämlich
> Fall 1: [mm]3|d[/mm]
> Dann folgt aus [mm]d|3a^2[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]3a^2=d*x[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]a^2=\frac{d}3 x[/mm] und ebenso [mm]b^2=\frac{d}3 y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ \frac{d}3|a^2[/mm] und [mm]\frac{d}3|b^2[/mm]
>
> Wegen [mm]\ggT(a^2,b^2)=1[/mm] folgt daher [mm]\frac{d}3=1[/mm], also [mm]d=3[/mm]
>
> Fall 2: [mm]3\not|d[/mm]
> Dann ist ggT(d,3)=1, du kannst deinen Satz anwenden und
> erhältst: [mm]d|a^2[/mm] und [mm]d|b^2[/mm], woraus wie in Fall 1 folgt:
> [mm]d=1[/mm].
Interessant,..das sollte ich mir merken :)
> Viele Grüße,
> Marc
Viele Grüße, Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 17.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 15.01.2010 | | Autor: | statler |
Hallo,
wenn man da mit Euklid u. Polynomdivision rangeht, ergibt sich doch:
ggT [mm] (a^2 [/mm] - ab - [mm] b^2, [/mm] a+b) = ggT(a+b, [mm] -3b^2) [/mm] = ggT(a+b, [mm] 3b^2) [/mm] = = ggT(a+b, 3ab)
und jetzt guckt man sich mal ganz scharf die Primteiler von 3ab an.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
> Hallo,
>
> wenn man da mit Euklid u. Polynomdivision rangeht, ergibt
> sich doch:
>
> ggT [mm](a^2[/mm] - ab - [mm]b^2,[/mm] a+b) = ggT(a+b, [mm]-3b^2)[/mm] = ggT(a+b,
> [mm]3b^2)[/mm] = = ggT(a+b, 3ab)
An welche Stelle wendest du Polynomdivision an? Wie kommst du von [mm] ggT(a+b,3b^2) [/mm] nach ggT(a+b, 3ab)?
> und jetzt guckt man sich mal ganz scharf die Primteiler von
> 3ab an.
Wenn ich mir p|3*a*b anschaue, fällt mir folgender Satz ein: p|a*b => p|a oder p|b ein mit p=primteiler. Angewendet p|3*c mit c=a*b => p|3 offensichtlich, wenn mich jetzt nicht alle guten Geister verlassen haben^^
Nichtsdestotrotz, käme ich ja nur zu einer der beiden Lösung, nämlich p=3.....Ist das der Nachteil wenn man mit Primteilern arbeitet? Oder sehe ich den Sachverhalt hier etwas falsch? ;)
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Viele Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Fr 15.01.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > wenn man da mit Euklid u. Polynomdivision rangeht, ergibt
> > sich doch:
> >
> > ggT [mm](a^2[/mm] - ab - [mm]b^2,[/mm] a+b) = ggT(a+b, [mm]-3b^2)[/mm] = ggT(a+b,
> > [mm]3b^2)[/mm] = = ggT(a+b, 3ab)
>
> An welche Stelle wendest du Polynomdivision an? Wie kommst
> du von [mm]ggT(a+b,3b^2)[/mm] nach ggT(a+b, 3ab)?
Es ist
[mm] a^2 [/mm] -ab - [mm] b^2 [/mm] : a+b = a+2b Rest [mm] -3b^2
[/mm]
und
[mm] 3b^2 [/mm] : b+a = 3b Rest -3ab
Dann habe ich benutzt, daß ggT(Dividend, Divisor) = ggT(Divisor, Rest) ist.
> > und jetzt guckt man sich mal ganz scharf die Primteiler von
> > 3ab an.
>
> Wenn ich mir p|3*a*b anschaue, fällt mir folgender Satz
> ein: p|a*b => p|a oder p|b ein mit p=primteiler.
> Angewendet p|3*c mit c=a*b => p|3 offensichtlich, wenn mich
> jetzt nicht alle guten Geister verlassen haben^^
> Nichtsdestotrotz, käme ich ja nur zu einer der beiden
> Lösung, nämlich p=3.....Ist das der Nachteil wenn man mit
> Primteilern arbeitet? Oder sehe ich den Sachverhalt hier
> etwas falsch? ;)
Die Primteiler von a und b sind paarweise verschieden, da a und b teilerfremd sind. Ein gemeinsamer Teiler von a und a+b ist auch Teiler von b, kann also nur 1 sein, ebenso für b und a+b. Bleibt die 3 als einzige von 1 versch. Möglichkeit.
Gruß
Dieter
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Hey
> Hi!
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> > > wenn man da mit Euklid u. Polynomdivision rangeht, ergibt
> > > sich doch:
> > >
> > > ggT [mm](a^2[/mm] - ab - [mm]b^2,[/mm] a+b) = ggT(a+b, [mm]-3b^2)[/mm] = ggT(a+b,
> > > [mm]3b^2)[/mm] = = ggT(a+b, 3ab)
> >
> > An welche Stelle wendest du Polynomdivision an? Wie kommst
> > du von [mm]ggT(a+b,3b^2)[/mm] nach ggT(a+b, 3ab)?
>
> Es ist
> [mm]a^2[/mm] -ab - [mm]b^2[/mm] : a+b = a+2b Rest [mm]-3b^2[/mm]
>
> und
> [mm]3b^2[/mm] : b+a = 3b Rest -3ab
>
> Dann habe ich benutzt, daß ggT(Dividend, Divisor) =
> ggT(Divisor, Rest) ist.
>
Soweit verstanden.
> > > und jetzt guckt man sich mal ganz scharf die Primteiler von
> > > 3ab an.
> >
> > Wenn ich mir p|3*a*b anschaue, fällt mir folgender Satz
> > ein: p|a*b => p|a oder p|b ein mit p=primteiler.
> > Angewendet p|3*c mit c=a*b => p|3
Ist das also falsch, falls ja, wieso? Müsste eigentlich legitim sein oder?
> offensichtlich, wenn mich
> > jetzt nicht alle guten Geister verlassen haben^^
> > Nichtsdestotrotz, käme ich ja nur zu einer der beiden
> > Lösung, nämlich p=3.....Ist das der Nachteil wenn man mit
> > Primteilern arbeitet? Oder sehe ich den Sachverhalt hier
> > etwas falsch? ;)
>
> Die Primteiler von a und b sind paarweise verschieden, da a
> und b teilerfremd sind.
Bishier auch klar.
> Ein gemeinsamer Teiler von a und
> a+b ist auch Teiler von b, kann also nur 1 sein, ebenso
> für b und a+b.
Hier verliere ich den Zusammenhang und kann nicht folgen.. :(
> Bleibt die 3 als einzige von 1 versch.
> Möglichkeit.
Was bedeutet "als einzige von 1 verschiedene Möglichkeit?"
>
> Gruß
> Dieter
Sorry, dass ich soviele Fragen habe! Aber naja, lässt sich irgendwie kaum vermeiden ;/
Viele Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 18.01.2010 | | Autor: | statler |
Hier noch ein Nachtrag:
> Hey
> > Hi!
> >
> > > > wenn man da mit Euklid u. Polynomdivision rangeht, ergibt
> > > > sich doch:
> > > >
> > > > ggT [mm](a^2[/mm] - ab - [mm]b^2,[/mm] a+b) = ggT(a+b, [mm]-3b^2)[/mm] = ggT(a+b,
> > > > [mm]3b^2)[/mm] = = ggT(a+b, 3ab)
> > >
> > > An welche Stelle wendest du Polynomdivision an? Wie kommst
> > > du von [mm]ggT(a+b,3b^2)[/mm] nach ggT(a+b, 3ab)?
> >
> > Es ist
> > [mm]a^2[/mm] -ab - [mm]b^2[/mm] : a+b = a+2b Rest [mm]-3b^2[/mm]
> >
> > und
> > [mm]3b^2[/mm] : b+a = 3b Rest -3ab
> >
> > Dann habe ich benutzt, daß ggT(Dividend, Divisor) =
> > ggT(Divisor, Rest) ist.
> >
> Soweit verstanden.
> > > > und jetzt guckt man sich mal ganz scharf die
> Primteiler von
> > > > 3ab an.
> > >
> > > Wenn ich mir p|3*a*b anschaue, fällt mir folgender Satz
> > > ein: p|a*b => p|a oder p|b ein mit p=primteiler.
> > > Angewendet p|3*c mit c=a*b => p|3
>
> Ist das also falsch, falls ja, wieso? Müsste eigentlich
> legitim sein oder?
>
> > offensichtlich, wenn mich
> > > jetzt nicht alle guten Geister verlassen haben^^
> > > Nichtsdestotrotz, käme ich ja nur zu einer der beiden
> > > Lösung, nämlich p=3.....Ist das der Nachteil wenn man mit
> > > Primteilern arbeitet? Oder sehe ich den Sachverhalt hier
> > > etwas falsch? ;)
> >
> > Die Primteiler von a und b sind paarweise verschieden, da a
> > und b teilerfremd sind.
>
> Bishier auch klar.
>
> > Ein gemeinsamer Teiler von a und
> > a+b ist auch Teiler von b, kann also nur 1 sein, ebenso
> > für b und a+b.
>
> Hier verliere ich den Zusammenhang und kann nicht folgen..
> :(
Naja, wenn r ein Teiler von a und von a+b ist, dann ist es auch ein Teiler von (a+b) - a = b. Nun sind a und b teilerfremd, also muß r = 1 sein.
> > Bleibt die 3 als einzige von 1 versch.
> > Möglichkeit.
>
> Was bedeutet "als einzige von 1 verschiedene
> Möglichkeit?"
Ich gehe doch der Reihe nach die Primteiler von 3ab durch. Jetzt habe ich aber gerade vorgeführt, daß die Primteiler von a und b keine Teiler von a+b sind. Da bleibt nur noch die 3, und die war ja auch erlaubt.
Gruß
Dieter
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