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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
| Aufgabe | 1. Zeige, dass für jedes $n$ die Zahl [mm] $z=n^4+n^2+2n$ [/mm] durch $4$ teilbar ist.
2. Zeige, dass [mm] $z=n^4+11n^2$ [/mm] durch $12$ teilbar ist.
3. Zeige, dass die Zahl [mm] $21^{39} [/mm] + [mm] 39^{21}$ [/mm] durch 45 teilbar ist. |
Hallo,
ich habe mir gerade die Grundlagen der Kongruenzrechnung angeeignet und möchte dies nun an den obigen Aufgaben anwenden.
1. Wir müssen also $z [mm] \equiv [/mm] 0~(mod~4)$ zeigen. Klar ist, dass [mm] $n^4 \equiv [/mm] 0 ~(mod~4)$ gilt. Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt weiterhin [mm] $n^2 \equiv [/mm] 0 ~(mod~4)$. Also gilt schon mal für $n [mm] \ge [/mm] 2$: [mm] $n^4 [/mm] + [mm] n^2 \equiv [/mm] 0~(mod~4)$. Wie kann ich das weiterführen?
Oder gibt es vielleicht einen besseren Weg solche Aufgaben anzugehen?
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> 1. Zeige, dass für jedes [mm]n[/mm] die Zahl [mm]z=n^4+n^2+2n[/mm] durch [mm]4[/mm]
> teilbar ist.
> 1. Wir müssen also [mm]z \equiv 0~(mod~4)[/mm] zeigen. Klar ist,
> dass [mm]n^4 \equiv 0 ~(mod~4)[/mm] gilt.
Hallo,
das stimmt nicht.
Du kannst Dir leicht überlegen, daß dies für keine ungerade Zahl n zutreffend ist. [mm] 3^4=81\equiv [/mm] 1 mod 4.
Für [mm]n \ge 2[/mm] gilt weiterhin
> [mm]n^2 \equiv 0 ~(mod~4)[/mm].
Auch das ist für ungerade Zahlen nicht richtig.
> Oder gibt es vielleicht einen besseren Weg solche Aufgaben
> anzugehen?
Sicher gibt es mehrer Lösungen der Aufgabe.
Wenn Du mit Kongruenzen rechnen möchtest, kannst Du Dir überlegen, daß jede natürliche Zahl bei Division durch 4 den Rest 0,1,2 oder 3 läßt.
Das macht das Problem sehr übersichtlich, du brauchst es nämlich nur für [mm] n_0\equiv [/mm] 0 mod 4, [mm] n_1\equiv [/mm] 1 mod 4, [mm] n_2\equiv [/mm] 2 mod 4 und [mm] n_3\equiv [/mm] 3 mod 4 durchzurechnen.
Leider entnimmt man Deinem Profil nicht, wie weit Du in der Mathematik fortgeschritten bist, deshalb - weil ich denke, es könnte nützlich sein - noch folgendes:
Wenn z.b. [mm] n_1\equiv [/mm] 1 mod 4 ist, so gibt es ein [mm] k_1 [/mm] mit [mm] n_1=k_1*4+1. [/mm] (Für die anderen entsprechend.)
Eine andere Lösungsmöglichkeit für die Aufgabe wäre mit vollständiger Induktion.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Ups, da war ich doch ein wenig voreilig.^^
Meinst du's so:
Eine natürliche Zahl lässt bei Division durch $4$ den Rest $0, 1, 2$ oder $3$. Also betrachten wir die folgenden Fälle:
Fall 1: [mm] $n_0\equiv [/mm] 0~(mod~4)$, dann gilt trivialerweise auch $z [mm] \equiv [/mm] 0~(mod~4)$.
Fall 2: [mm] $n_1\equiv [/mm] 1~(mod~4)$, dann folgt $ [mm] z=1^4+1^2+2*1=4 \equiv [/mm] 0~(mod~4) $.
Fall 3: [mm] $n_2\equiv [/mm] 2~(mod~4)$, dann folgt $ [mm] z=2^4+2^2+2*2=24 \equiv [/mm] 0~(mod~4) $.
Fall 4: [mm] $n_3 \equiv [/mm] 3~(mod~4)$, dann folgt $ [mm] z=3^4+3^2+2*3=96 \equiv [/mm] 0~(mod~4) $.
Also müsste alles gezeigt sein?
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Genauso meinte ich es!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Mal eine kleine Zwischenfrage: Wieso ist [mm] $(14^2)^{51} \cdot [/mm] 14 [mm] \equiv 1^{51} \cdot [/mm] 14=14 ~(mod~39)$ ? Wie kommt man da auf die $1$?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Fr 20.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Theseus,
> Mal eine kleine Zwischenfrage: Wieso ist [mm](14^2)^{51} \cdot 14 \equiv 1^{51} \cdot 14=14 ~(mod~39)[/mm]
[mm]14^2 = 196 = 5\cdot 39 +1[/mm], also ist [mm] 14^2 \equiv 1 \pmod{39} [/mm].
Grüße
Rainer
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