Teilbarkeitskriterium < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 17.11.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) Zeige mit dem Teilbarkeitskriterium: für beliebige a,b [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a^4|b^3 \Rightarrow [/mm] a| b
b) Die Implikation [mm] a^3| b^4 \Rightarrow [/mm] a| b gilt nicht. Zeige dies mit einem Gegenbeispiel. |
Das Teilbarkeitskriterium haben wir in der VL definiert:
[mm] a,b\in \IN \{1} [/mm] mit a= [mm] \produkt_{p\in \IP}^{}p^{\alpha_p} [/mm] und b=a= [mm] \produkt_{p\in \IP}^{}p^{\beta_p} [/mm]
mit [mm] \alpha_p, \beta_p> [/mm] 0 für [mm] p\in \IP
[/mm]
Dann gilt a| b [mm] \Rightarrow \alpha_p \le \beta_p [/mm] für alle [mm] p\in \IP
[/mm]
Das kann ich allerdings noch nicht so richtig auf meine Aufgabe anwenden.
Dem Kriterien nach müsste [mm] a^4 \le b^3 [/mm] sein.
dann gibt es ein k mit [mm] k:b^3-a^4 [/mm] dannist [mm] b^3=k*a^4 [/mm]
Das zeigt die Teilbarkeit a| b
Allerdings denke ich nicht, dass mein "Beweis" dem Teilbarkeitskriterium entspricht. Könnt ihr mir hier etwas unter die Arme greifen?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo heinze,
> a) Zeige mit dem Teilbarkeitskriterium: für beliebige a,b
> [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a^4|b^3 \Rightarrow[/mm] a| b
>
> b) Die Implikation [mm]a^3| b^4 \Rightarrow[/mm] a| b gilt nicht.
> Zeige dies mit einem Gegenbeispiel.
> Das Teilbarkeitskriterium haben wir in der VL definiert:
>
> [mm]a,b\in \IN \setminus\{1\}[/mm] mit a= [mm]\produkt_{p\in \IP}^{}p^{\alpha_p}[/mm]
> und b=a= [mm]\produkt_{p\in \IP}^{}p^{\beta_p}[/mm]
>
> mit [mm]\alpha_p, \beta_p>[/mm] 0 für [mm]p\in \IP[/mm]
>
> Dann gilt a| b [mm]\Rightarrow \alpha_p \le \beta_p[/mm] für alle
> [mm]p\in \IP[/mm]
>
>
> Das kann ich allerdings noch nicht so richtig auf meine
> Aufgabe anwenden.
> Dem Kriterien nach müsste [mm]a^4 \le b^3[/mm] sein.
>
> dann gibt es ein k mit [mm]k:b^3-a^4[/mm] dannist [mm]b^3=k*a^4[/mm]
>
> Das zeigt die Teilbarkeit a| b
>
>
> Allerdings denke ich nicht, dass mein "Beweis" dem
> Teilbarkeitskriterium entspricht. Könnt ihr mir hier etwas
> unter die Arme greifen?
das Teilbarkeitskriterium angewandt auf deine Aufgabe lautet:
[mm]a=\prod_{p\in\mathbb P}p^{\alpha_p}\quad \Longrightarrow\quad a^4=\prod_{p\in\mathbb P}p^{4\alpha_p}[/mm] und [mm]b=\prod_{p\in\mathbb P}p^{\beta_p}\quad \Longrightarrow\quad b^3=\prod_{p\in\mathbb P}p^{3\beta_p}[/mm]
Wende jetzt [mm]a\ |\ b\ \Rightarrow\ \alpha_p\le\beta_p[/mm] auf [mm]a^4\ |\ b^3[/mm] an.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Sa 17.11.2012 | | Autor: | heinze |
Hier komme ich gerade nicht weiter. Meine Idee: Ich muss ja "Hinrichtung" und "Rückrichtung" zeigen.
es soll gelten [mm] a^4| b^3. [/mm] Es existiert ein [mm] c\in \IN [/mm] mit [mm] b^3=a^4*c. [/mm] c hat die PFZ c = [mm] \produkt_{p\in \IP}^{}p^{\gamma_p}. [/mm] Dann gilt:
[mm] \produkt_{p\in \IP}^{}p^{3\beta_p}= \produkt_{p\in \IP}^{}p^{4\alpha_p}*\produkt_{p\in \IP}^{}p^{\gamma_p} [/mm] = [mm] \produkt_{p\in \IP}^{}p^{4\alpha_{p}+\gamma_{p}}
[/mm]
"Rückrichtung"
Es gilt [mm] 4\alpha_p\le 3\beta_p [/mm] für alle [mm] p\in \IP
[/mm]
Setze [mm] \gamma_p: 3\beta_p-4\alpha_p
[/mm]
und c= [mm] \produkt_{p\in \IP}^{}p^{gamma_p} [/mm] daraus folgt wie oben [mm] b^3=a^4*c [/mm] also a|b
Eine andere Beweisidee habe ich nicht. Kann man das so machen?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo heinze,
so, wie du die Aufgabe wiedergegeben hast, ist nur eine Richtung zu zeigen und die lautet
[mm]a^4\ |\ b^3\ \Rightarrow\ 4\alpha_p\le 3\beta_p[/mm], wobei die [mm]\alpha_p[/mm] und [mm]\beta_p[/mm] die Primzahlexponenten aus dem "Teilbarkeitskriterium" sind.
Kannst du daraus [mm]\alpha_p \le \beta_p[/mm] (also [mm]a\ |\ b[/mm]) folgern?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 18.11.2012 | | Autor: | heinze |
Ich habe keine Idee wie ich das zeigen kann. Mein versuchter Beweis war meine einzige Idee dazu.
LG
heinze
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Hallo heinze,
das ist doch aber nicht schwierig.
Vergewissere Dich, dass [mm] (\alpha_p\le\beta_p)\gdw (4\alpha_p\le 4\beta_p) [/mm] gilt.
Dann sollte die Ungl.kette [mm] $4\alpha_p\le 3\beta_p\le 4\beta_p$ [/mm] genügen. Immerhin geht es doch nur um [mm] $\alpha_p, \beta_p\ge0$.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 19.11.2012 | | Autor: | heinze |
Für mich scheint es allerdings schwierig zu sein! ich komme leider nicht darauf wie man das zeigen kann.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 19.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum siehst du c an statt wie dir Fulla gesagt hat a und b. due scheinst posts nicht gründlich zu lesen, denn darauf hast du gar nicht reagiert!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 19.11.2012 | | Autor: | heinze |
..weil ich absolut keinen Plan habe wie ich das zeigen soll, der Tipp von Fulla hat mich nicht weiter gebracht!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 19.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann schreib mal Fullas vorschlag auf und vergleiche die Exponenten von [mm] a^4 [/mm] und [mm] b^3 [/mm] mit denen von a und b.
Du bist mal wieder auf dem Trip: Fragen ist einfacher als Nachdenken, gewöhn dir das ab.
"absolut keinen Plan" heisst du hast nicht endlos rumprobiert, mit dem Tip, sondern ihn und die aufgabe nur angestarrt!
Gruss leduart
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Hallo heinze,
ich finde auch, dass Du zuviel fragst oder fragen musst.
Mit Fullas Tipp wäre die Aufgabe komplett zu lösen gewesen. Ich bin dann noch deutlicher geworden, und wenn Du meine letzte Antwort mal gründlich durcharbeitet hättest, hättest du auch die komplette Lösung gehabt. Sie steht ja einfach schon da.
Ich verstehe immer noch nicht, warum Du Mathematik studierst. Dies ist ja bei weitem nicht Deine erste Anfrage. Ich habe fast alle Diskussionen gelesen, die auf eine Einstiegsfrage von Dir zurückgingen.
Hast Du keine anderen Optionen für Dein Leben? So kann es doch keinen Spaß machen, vor allem Dir selbst nicht. Und ich behaupte mal, ich kann von meiner eigenen Perspektive aus extrapolieren: uns auch nicht. Es ist kein Erfolg festzustellen. Jede einzelne Aufgabe ist erst dann erledigt, wenn Dir letztlich jeder Schritt vorgemacht worden ist. Das ist nicht Sinn des Forums. Wir wollen Dir gerne an den Stellen helfen, wo Du selbst hängenbleibst. Aber das kann doch nicht jeder einzelne Schritt sein! Dann stimmt nämlich irgendetwas nicht.
Also ganz ehrlich: was ist denn so schwierig daran, dies zu zeigen:
[mm] \alpha_p\le\beta_p\quad\gdw\quad 4\alpha_p\le 4\beta_p
[/mm]
?? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ??
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 20.11.2012 | | Autor: | Regor |
leider geht es hier aber nicht um $ [mm] \alpha_p\le\beta_p\quad\gdw\quad 4\alpha_p\le 4\beta_p [/mm] $
sondern [mm] 4\alpha_p\le 3\beta_p [/mm]
was die anwendung auf [mm] \alpha_p [/mm] < [mm] \beta_p [/mm] schwieriger gestaltet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 20.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Regor,
wie das geht hat reverend doch schon weiter oben beschrieben.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 22.11.2012 | | Autor: | heinze |
Ihr könnt mich gerne für doof halten, aber bei der Aufgabe sehe ich es nicht! Ich weiß wie es praktisch sein muss, aber ich kann es nicht als Beweis ausdrücken.
[mm] a^4*k=b^3, k=\produkt_{}^{}p^{k_p} [/mm] Dann ist
[mm] a^4*k=\produkt_{}^{}a^{4_\alpha}*=\produkt_{}^{}p^{k_p}=\produkt_{}^{}p^{k_p+4_\alpha}
[/mm]
[mm] 4_\alpha*k_p=3_p
[/mm]
also muss [mm] 4_\alpha \le 3_\beta
[/mm]
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Do 22.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Heinze,
> Ihr könnt mich gerne für doof halten, aber bei der
> Aufgabe sehe ich es nicht! Ich weiß wie es praktisch sein
> muss, aber ich kann es nicht als Beweis ausdrücken.
>
> [mm]a^4*k=b^3, k=\produkt_{}^{}p^{k_p}[/mm] Dann ist
>
> [mm]a^4*k=\produkt_{}^{}a^{4_\alpha}*=\produkt_{}^{}p^{k_p}=\produkt_{}^{}p^{k_p+4_\alpha}[/mm]
>
> [mm]4_\alpha*k_p=3_p[/mm]
>
> also muss [mm]4_\alpha \le 3_\beta[/mm]
die Notation verstehe ich nicht und halte sie für falsch, falls das dem Teilbarkeitskriterium von oben entsprechen soll.
Wir waren doch schon soweit:
[mm]a^4\mid b^3\ \Rightarrow\ 4\alpha_p\le 3\beta_p[/mm] und wir hätten gern [mm]\Rightarrow\ \alpha_p\le\beta_p[/mm]
Wenn [mm]4\alpha_p\le 3\beta_p[/mm] dann gilt doch auch [mm]4\alpha_p\le 3\beta_p+\beta_p[/mm], da die [mm]\alpha_p[/mm] und [mm]\beta_p[/mm] positive (ganze bzw. natürliche) Zahlen sind. Und daraus folgt [mm]\alpha_p\le\beta_p[/mm].
Oben beim Teilbarkeitskriterium hast du übrigens "nur" [mm]a\mid b\ \Rightarrow\ \alpha_p\le\beta_p[/mm] geschrieben. Es muss aber [mm]a\mid b\ \Leftrightarrow\ \alpha_p\le\beta_p[/mm] heißen, es gelten also beide Richtungen.
Und damit bist du fertig mit dem Beweis.
Lieben Gruß,
Fulla
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