matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieTeilbarkeitslehre
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Zahlentheorie" - Teilbarkeitslehre
Teilbarkeitslehre < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilbarkeitslehre: Aufgabe zu Teilbarkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Sa 12.05.2018
Autor: mathelernender

Aufgabe
a) Bestimme alle n [mm] \in \IN [/mm] mit teilerzahl(n) = 20 und teilersumme(n) < 2500.  
b) Bestimme alle natürlichen Zahlen, in deren kanonische PFZ genau 4 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau 30 natürliche Teiler haben.

Hallo,
ich bearbeite aktuell die o.g. Aufgaben. Bei a) habe ich aktuell folgende Gedanken gemacht:

Da die Anzahl der Teiler genau 20 sein soll, heißt das, dass folgendes gilt:
20 = teilerzahl(n) = [mm] (m_{1} [/mm] + [mm] 1)*(m_{2} [/mm] + 1) * ... * [mm] (m_{k} [/mm] + 1)

wobei die [mm] m_{i} [/mm] die Exponenten der PFZ von n sind. Die 20 hat genau 6 Teiler. Ich folgere nun daraus, dass n eine Zahl ist, die aus maximal 6 verschiedenen Primfaktoren besteht. Soweit korrekt? Nur kann ich mit der Erkenntnis noch nicht viel anfangen.

Die Teilersumme soll ja auch < 2500 sein. Was ich daraus ableiten soll, ist mir auch noch unklar...

Kann mir jemand vielleicht einen Schubs in die richtige Richtung geben?

Viele Grüße,
mathelernender

        
Bezug
Teilbarkeitslehre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Sa 12.05.2018
Autor: HJKweseleit


> a) Bestimme alle n [mm]\in \IN[/mm] mit teilerzahl(n) = 20 und
> teilersumme(n) < 2500.  
> b) Bestimme alle natürlichen Zahlen, in deren kanonische
> PFZ genau 4 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau
> 30 natürliche Teiler haben.
>  Hallo,
>  ich bearbeite aktuell die o.g. Aufgaben. Bei a) habe ich
> aktuell folgende Gedanken gemacht:
>  
> Da die Anzahl der Teiler genau 20 sein soll, heißt das,
> dass folgendes gilt:
>  20 = teilerzahl(n) = [mm](m_{1}[/mm] + [mm]1)*(m_{2}[/mm] + 1) * ... *
> [mm](m_{k}[/mm] + 1)
>  
> wobei die [mm]m_{i}[/mm] die Exponenten der PFZ von n sind. Die 20
> hat genau 6 Teiler.

[ok]



Fangen wir mal an:

20=20*1=(19+1)(0+1) wäre eine Kombination [mm] p^{19} [/mm] mit einer Primzahl p.
Nun ist aber die kleinste Primzahl die 2, aber [mm] 2^{19} [/mm] >2500 kommt nicht in Frage und damit auch alle p>2 nicht. Diese Kombination scheidet somit aus.

20=10*2=(9+1)(1+1) wäre eine Kombination [mm] p_1^{9}*p_2 [/mm] mit zwei verschiedenen Primzahlen.
Die kleinste Möglichkeit dafür wäre [mm] 2^9 [/mm] * 3 = 512*3. Die nächste Möglichkeit, [mm] 2^9*5 [/mm] = 512*5>2500 scheidet schon wieder aus. Für [mm] p_1 [/mm] > 2 ist schon [mm] p_1^9 [/mm] > 2500, es gibt somit nur diese Lösung.

Nun machst du weiter mit 20=5*4 und probierst mit den Primzahlen 2 und 3, 2 und 5, 3 und 5, ...

Dann versuchst du, 20 in 3 Faktoren zu zerlegen:

20 = 5*2*2  ---> [mm] p_1^4 [/mm] * [mm] p_2 [/mm] * [mm] p_3 [/mm]


Und immer schön unter 2500 bleiben...




Ich folgere nun daraus, dass n eine

> Zahl ist, die aus maximal 6 verschiedenen Primfaktoren
> besteht. Soweit korrekt? Nur kann ich mit der Erkenntnis
> noch nicht viel anfangen.
>
> Die Teilersumme soll ja auch < 2500 sein. Was ich daraus
> ableiten soll, ist mir auch noch unklar...
>  
> Kann mir jemand vielleicht einen Schubs in die richtige
> Richtung geben?
>  
> Viele Grüße,
>  mathelernender


Bezug
                
Bezug
Teilbarkeitslehre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Sa 12.05.2018
Autor: mathelernender

Alles klar, vielen Dank für den Input.

Soweit ist mir die konstruktive herangehensweise klar. Nach der Zerlegung in 3 Faktoren und deren Kombinationen bin ich ja damit durch. Die PFZ von 20 ist 2*2*5, d.h. mehr als 3 Faktoren bekommt man nicht hin, richtig?

So dann zu den Zerlegungen selber, insbesondere zu der mit 3 Faktoren:

Da treten sehr viele Kombinationen auf. Wenn man es durchgeht startet man mit:
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 5
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 7
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 11
... bis:
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 47 = 2256 (wobei es unwahrscheinlich ist, das die Teilersumme < 2500 bleibt).

Dann macht man weiter mit:
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 7
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 11
... bis:
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 31 = 2480  (wobei es unwahrscheinlich ist, das die Teilersumme < 2500 bleibt).

Das ganze Spielchen macht man bis zur Kombination:
[mm] 2^{4} [/mm] * 11 * 13

Jetzt ginge es ja weiter mit:
[mm] 3^{4} [/mm] * 2 * 5

...

Kann man das nicht etwas einfacher oder systematischer hinbekommen? Oder mache ich was falsch?


und zur Aufgabe b):
Gibt es da überhaupt eine Lösung zu? Ich kann die 30 gar nicht als Produkt mit 4 Faktoren schreiben: 2*3*5 = 30, aber einen 4. Faktor bekomme ich da nicht rein, ausser der 1. Also 1 * 2* *3 * 5 = 30.

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeitslehre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


> Alles klar, vielen Dank für den Input.
>

Hallo,

> Soweit ist mir die konstruktive herangehensweise klar. Nach
> der Zerlegung in 3 Faktoren und deren Kombinationen bin ich
> ja damit durch. Die PFZ von 20 ist 2*2*5, d.h. mehr als 3
> Faktoren bekommt man nicht hin, richtig?

ja

>  
> So dann zu den Zerlegungen selber, insbesondere zu der mit
> 3 Faktoren:
>  
> Da treten sehr viele Kombinationen auf. Wenn man es
> durchgeht startet man mit:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 5
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 7
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 11
>  ... bis:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 47 = 2256 (wobei es unwahrscheinlich ist, das
> die Teilersumme < 2500 bleibt).
>  
> Dann macht man weiter mit:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 7
>  [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 11
>  ... bis:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 31 = 2480  (wobei es unwahrscheinlich ist, das
> die Teilersumme < 2500 bleibt).
>  
> Das ganze Spielchen macht man bis zur Kombination:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 11 * 13

Die Bedingung an die Teilersumme (die sich ja auch durch eine relativ einfache Formel berechnen lässt) schränkt die Zahl der Lösungen schon ziemlich ein.
Für Zahlen der Form  [mm]2^{4}*p*q[/mm] ist sie nur erfüllt, wenn [mm](p+1)*(q+1)\le 80[/mm].

>  
> Jetzt ginge es ja weiter mit:
>  [mm]3^{4}[/mm] * 2 * 5

Und das ist auch schon die einzige Lösung der Form [mm]p^4*q*r[/mm] mit p>2.

>  
> ...
>  
> Kann man das nicht etwas einfacher oder systematischer
> hinbekommen? Oder mache ich was falsch?

Ich sehe keinen einfacheren Weg, systematisch ist das schon so.

>  
>
> und zur Aufgabe b):
>  Gibt es da überhaupt eine Lösung zu? Ich kann die 30 gar
> nicht als Produkt mit 4 Faktoren schreiben: 2*3*5 = 30,
> aber einen 4. Faktor bekomme ich da nicht rein, ausser der
> 1. Also 1 * 2* *3 * 5 = 30.  

Sehe ich auch so. Und damit gibt es zu Aufgabenteil b) eine einfache Antwort.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 9h 34m 11. Takota
DiffGlGew/Globaler Existenzsatz
Status vor 10h 54m 1. homerq
SVektoren/Raumwinkel errechnen
Status vor 14h 38m 6. leduart
DiffGlGew/Loesung DGL
Status vor 21h 55m 3. fred97
S8-10/Rationalisieren des Nenners
Status vor 1d 17h 53m 6. HJKweseleit
UNum/Skizzieren einer Menge
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]