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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Sind u und v teilerfremd, so gilt: u/N und v/N --> uv/N. Tipp: Nutzen Sie die Primfaktorzerlegungen. |
hallo leute.
ich sitz mal wieder an mathe..
hat jemand eine idee?
also ich habe mir die PFZ aufgeschrieben und auch einmal nachgerechnet mit konkreten zahlen, nur formal beweisen kann ich es nicht.
wenn u und v nicht teilerfremd sind, funktioniert es nicht.
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> Zeigen Sie: Sind u und v teilerfremd, so gilt: u/N und v/N
> --> uv/N. Tipp: Nutzen Sie die Primfaktorzerlegungen.
> hallo leute.
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> ich sitz mal wieder an mathe..
>
> hat jemand eine idee?
Hallo,
wenn [mm] u=p_1*...*p_k, v=q_1*...q_m [/mm] teilerfremd sind, dann haben sie in der Primfaktorzerlegung doch keinen gemeinsamen Primfaktor,
und es gibt t, t' mit [mm] N=t*p_1*...*p_k [/mm] und [mm] N=q_1*...q_mt'.
[/mm]
Jetzt kannst Du ja mal weiterversuchen und überlegen, wer hier wen teilen muß.
Gruß v. Angela
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> also ich habe mir die PFZ aufgeschrieben und auch einmal
> nachgerechnet mit konkreten zahlen, nur formal beweisen
> kann ich es nicht.
> wenn u und v nicht teilerfremd sind, funktioniert es
> nicht.
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Hallo.
ganz kurz nur:
wieso sind deine N=.. bei dir verschieden? es ist doch stets das selbe N!?
und woher kommt dein t und t'?
ich habe u= p1 x p2 x...xpn und v= q1 x q2 x...xqm
und N=p1 x q1 x p2 x q2 x...xpn x qm
stimmt mein N nicht? ich denke es stimmt, weil N nicht teilerfremd zu irgendwem ist, also alle p's und q's haben kann.
!?
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ah moment ich glaub ich habs..
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Hallo,
mein N ist immer gleich, aber Du siehst es von "verschiedenen Seiten".
(Oh, vielleicht vergaß ich zu erwähnen, daß sämtliche [mm] p_i [/mm] von den [mm] q_j [/mm] verschieden sind?)
Ich mache Dir mal ein Zahlenbeispiel
u=6=2*3 teilt N=1200
v=25=5*5 teilt N=1200
Es gibt ein t so, daß 1200=t*6=t*2*3, nämlich t=200.
Es gibt ein t' so, daß 1200=t'*25=t'*5*5, nämlich t'=48.
Also ist N=t*2*3=t'*5*5.
Gruß v. Angela
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ja danke dir, ich habs in der praxis 100% verstanden, nur bekomm ich den allgemeinen beweis nicht hin!
ich habe (nochmal ausführlich):
u/N und v/N --> uv/N
u/N --> es gibt ein k1 mit: u x k1 = N
u=p1 x p2 x ... x pn
--> p1 x p2 x ... x pn x k1 = k1 x p1 x p2 x ... pn
N ist also = k1 x p1 x p2 x ... pn
-------------
v/N --> es gibt ein k2 mit: v x k2 = N
v= q1 y q2 x ... x qm
--> q1 x q2 x ... qm x k2 = k2 x q1 x q2 x ... qm
N ist also = k2 x q1 x q2 x ... qm
N = k2 x q1 x q2 x ... qm = k1 x p1 x p2 x ... pn
---> bis hier hin alles klar, nur wie zeige ich jetzt, dass u x v N teilt?
den einen nächsten schritt bekomme ich nicht hin, ich wette, das er total einfach ist, ich mir aber viel zu viele gedanken mache.
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> N = k2 x q1 x q2 x ... qm = k1 x p1 x p2 x ... pn
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> ---> bis hier hin alles klar, nur wie zeige ich jetzt, dass
> u x v N teilt?
Hallo,
die p und q sind ja allesamt Primzahlen.
Die [mm] p_i [/mm] und [mm] q_j [/mm] sind paarweise verschieden.
Es ist k2 x q1 x q2 x ... qm = k1 x p1 x p2 x ... pn
Also teilt [mm] q_1 [/mm] das Produkt k1 x p1 x p2 x ... pn.
[mm] q_1 [/mm] teilt keine der [mm] p_i, [/mm] also teilt [mm] q_1 [/mm] die zahl [mm] k_1.
[/mm]
usw.
Dann noch die entsprechnede Argumentation mit den [mm] p_i.
[/mm]
Gruß von Angela
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ok, dann weis ich später:
q1 bis qm teilen jeweils alle das produkt k1 x p1 x p2 x ... x pn
aber q1 bis qm teilt keiner der pi, also teilen q1 bis qm alle jeweils die zahl k1.
das selbe weis ich umgekehrt von p1 bis pm...
aber wie ist das der beweis? wo erkenne ich, dass es daran bewiesen ist?
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> ok, dann weis ich später:
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> q1 bis qm teilen jeweils alle das produkt k1 x p1 x p2 x
> ... x pn
> aber q1 bis qm teilt keiner der pi, also teilen q1 bis qm
> alle jeweils die zahl k1.
>
> das selbe weis ich umgekehrt von p1 bis pm...
>
> aber wie ist das der beweis? wo erkenne ich, dass es daran
> bewiesen ist?
Hallo,
jetzt bist Du aber etwas schwerfällig...
Schreib mal auf, was es bedeutet, wenn das Produkt der [mm] p_i [/mm] die Zahl [mm] k_2 [/mm] teilt .
Und dann schreib mit Deinen neuesten Erkenntnissen N nochmal auf.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
sorry, aber ich stecke echt fest und komm nicht ganz weiter, hirnstau.
wenn das produkt der pn (also p1 x p2 x ... xpn = das war ja mein u) k2 teilt, dann muss es ein k3 € Z geben mit p1 x p2 x ... x pn x k3 = k2
aber was erkenne ich dann? bei beweisen liegt das ergebniss stets offensichtlich dar, aber jetzt haben wir eine weitere variable (k3) dabei, die das ganze unübersichtlicher macht.
ist k3 jtzt das N ?
i'm sorry
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> wenn das produkt der pn (also p1 x p2 x ... xpn = das war
> ja mein u) k2 teilt, dann muss es ein k3 € Z geben mit p1 x p2 x ... x pn x k3 = k2
>
> aber was erkenne ich dann?
[mm] N=q_1*...q_m*k_2=q_1*...q_m*(p_1*...p_n)k_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
bei beweisen liegt das ergebniss
> stets offensichtlich dar, aber jetzt haben wir eine weitere
> variable (k3) dabei, die das ganze unübersichtlicher
> macht.
>
> ist k3 jtzt das N ?
>
> i'm sorry
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angela, fühl dich umarmt!
ich danke dir und habs endlich kappiert!!
danke, ihr seit toll und danke für die hilfe!!
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ahhh ich glaub ich weis wieder weiter :)
p1 x p2 x ... x pn x q1 x q2 x ... qm x k1 x k2 = N
k1 € Z x k2 € Z = k € Z !!!!!!!
p1 x p2 x ... x pn x q1 x q2 x ... qm x k = N
--> wenn k € Z (das ist es) ist, dann gilt:
u x v / N
!?!?!!?
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> ahhh ich glaub ich weis wieder weiter :)
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> p1 x p2 x ... x pn x q1 x q2 x ... qm x k1 x k2 = N
hallo,
daß das nicht stimmt, kannst Du an unserem Zahlenbeispiel prüfen.
Gruß v. Angela
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