Teilchenbewegung im Potenzial < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 28.10.2006 | | Autor: | joshua85 |
| Aufgabe | Ein punktförmiges Teilchen der Masse m bewegt sich unter dem Einfluss einer Kraft derart, dass die potentielle Energie durch folgenden Ausdruck gegeben ist: U (x) = [mm] ax^{2} [/mm] - [mm] bx^{3} [/mm] (a > 0, b > 0)
a) Berechnen Sie die Kraft und bestimmen Sie den Wert von x, bei welchem die Kraft das Vorzeichen wechselt!
b) Nehmen Sie an, dass das Teilchen im Ursprung mit der Geschwindigkeit v0 startet. Zeigen Sie, dass es eine untere Grenzgeschwindigkeit vc gibt, unterhalb derer der Aufenthaltsort x des Teilchens auf ein endliches Intervall, das den Ursprung einschliesst, beschränkt bleibt. Positionen, die sich ausserhalb dieses Intervalls befinden, sind also für das
Teilchen bei diesen Startgeschwindigkeiten nicht erreichbar.
c) Berechnen Sie vc und das zugehörige Intervall!
d) Skizzieren Sie die potentielle Energie, so dass daraus die möglichen Bewegungen des Teilchens ersichtlich werden, d. h. ?überlegen Sie sich, wie sich das Teilchen jeweils in den verschiedenen Abschnitten des Potentials bewegt. |
Zu a) habe ich mir überlegt, dass die Kraft ja durch F = -grad * U gegeben ist. Aus der Augabenstellung hab ich mir gedacht, das Probelm ist eindimensional, also hab ich für F = [mm] 3bx^{2} [/mm] - 2ax raus, das dürfte dann ja soweit stimmen? Um den Vorzeichenwechsel zu bestimmen, hab ich F abgeleitet und null gesetzt (kann man das so machen?) und bekomme einen Vorzeichenwechsel bei x = [mm] \bruch{a}{3b}.
[/mm]
Für b) und c) habe ich leider gar keinen Ansatz. ich vermute mal, dass man das irgendwie über die Kinetische Energie machen muß, die ja durch W = [mm] \integral_{a}^{b}{F * ds} [/mm] gegeben ist. Aber wie komme ich damit zeigen, dass es diese Grenzgeschwindigkeit gibt, und wie berechne ich sie?
d) ist einfach die Bahnkurve von U(x) oder? Da das Potential ja die pot. Energie darstellt, und diese mit der kin. Energie übereinstimmt?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe! :) Würd mich sehr über eine Antwort freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 28.10.2006 | | Autor: | joshua85 |
Habe mir das mit dem Vorzeichenwechsel nochmal durch den Kopf gehen lassen, und dachte mir, nicht die Ableitung der Kraft, sondern direkt F 0 zu setzen, dabei komme ich nun auf einen Vorzeichenwechsel bei [mm] x=\bruch{2a}{3b}. [/mm] Dies erschein mir logischer, da ja dann die Kraft für dieses x=0 ist und für größere bzw. kleinere x positiv bzw. negativ.
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Also, am besten fängst du mit d) an.
Zeichne also u(x)!
Zu a)
Teilchen wollen immer eine möglichst kleine pot. Energie anstreben. Wenn du dir diese Kurve als Gebirge vorstellst, sollte klar sein, daß das Teilchen immer Bergab will. Die Richtung, in die es bergab geht, ändert sich natürlich da, wo der Berg ein Extremum hat, also seine Ableitung 0 ist. Die Ableitung ist ja grade die Kraft (naja, anderes Vorzeichen...), also ja, mit deinem Nachtrag hast du recht!
zu b)
Auch hier schaust du dir die Zeichnung an. zeichne eine waagerechte Grade in das Diagramm, im Ursprung etwas oberhalb von der Kurve. Diese Grade symbolisiert die Gesamtenergie, die das Teilchen hat. Sie besteht aus pot. Energie und aus kinetischer Energie, letztere istdie Differenz zwischen der graden und der Kurve.
Du siehst, daß sich die kin. Energie ändert, wenn sich das Potenzial ändert. Dann siehst du aber insbesondere, daß das Potenzial an einigen Stellen höher als die Grade ist. Diese Stellen kann deine Masse nicht überwinden, weil ihre Gesamtenergie dafür zu niedrig ist. erst, wenn du die Energie - und damit die höhe der Graden änderst, kannst du aus dieser Falle raus.
Im Prinzip hast du recht, du bildest das Integral, so wie du es hingeschrieben hast. a ist 0 und b läßt du erstmal so stehen. Berechne das, und setze es gleich mit der Formel für die kin. Energie. Berechne jetzt b in Abhängigkeit von v. Du solltest herausfinden, daß für kleine v drei Lösungen für b existieren. Das sind die x-Werte, wo die Grade die Kurve schneidet. Wird v größer, hastdu irgendwann nur noch2 Lösungen, weil die Grade jetzt das Extremum der Kurve berührt. Das ist die Grenzgeschwindigkeit! Erhöhst du v noch weiter, kann das Teilchen erst recht problemlos über den berg.
Eine Lösung für b bleibt aber immer: Das Potenzial steigt für negative x gegen +oo, da kommt das Teilchen nie drüber!
c) naja, ist in b) mit drin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 28.10.2006 | | Autor: | joshua85 |
Vielen Dank für diese Antwort, das hat mir schon sehr weitergeholfen.
Nur bei dem Integral habe ich noch ein Problem, ich habe ja
[mm] \integral_{f}^{g}{-grad U(x) * ds} [/mm] Nun frage ich mich, ob ich einfach ds = dx setzen kann, und dann integrieren, oder ob ich ds durch etwas anderes ersetzen muß?
Falls ds = dx habe ich für die Stammfunktion ja gerade wieder das Potential, oder?
Also dann [mm] \integral_{0}^{g}{-grad U(x) dx} [/mm] = [mm] -(ag^{2}-bg^{3}), [/mm] habe die Variablen anders gewählt, um nicht mit dem a und dem b des Potentials in Konflikt zu kommen.
Nun mit [mm] \bruch{m}{2}v^{2} [/mm] gleichsetzen und nach v auflösen? Da komm ich jetzt nicht so ganz weiter. Oder soll ich doch die Integralgrenzen a und b nennen und mit den a und b des Potenzials verrechnen?
Vielen Dank schonmal 
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Ja, hier kannst du natürlich s=x setzen. man benutzt s, bzw eher den Vektor [mm] \vec [/mm] s, um zu verdeutlichen, daß das s eigentlich irgendein Pfad ist, und nicht zwingend entlang irgendwelcher Achsen verläuft. Es kann sogar ne Kurve etc. darstellen.
Und du hast recht, die Stammfunktion ist wieder das Potential - mit zwei Unterschieden: Erstens kann das Potenzial eine Konstante enthalten haben, die durch das Differenzieren weggefallen ist (und beim Integrieren kommt evtl ne andere dazu), und zweitens hat sich ja das Vorzeichen umgekehrt. Das mit den Vorzeichen bedeutet, daß du nun Energie hineinstecken mußt, um das Teilchen auf das Potenzialniveau anzuheben.
Zum letzten Teil: NICHT nach v auflösen, sondern nach b. Denn das b gibt dir letztendlich an, an welchen Punkten die kin Energie, die das Teilchen am Anfang bekommen hat, vollständig in pot. Energie umgewandelt wurde - als Konsequenz kommt das Teilchen da nicht weiter! Oder, bildlich: Das sind die Schnittpunkte der Graden mit der Kurve.
Und du wirst sehen, daß es abhängig von v 1 bis 3 Lösungen gibt.
Allerdings sind das jetzt kubische Gleichungen, die sind natürlich nicht ganz so einfach zu lösen. Entweder nimmst du die Cardan'schen Formeln, oder nen Computer. Auf jeden Fall bekommst du was mit Wurzeln...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 28.10.2006 | | Autor: | joshua85 |
Danke, das ist mir jetzt klar. Eine Frage hab ich nun doch noch, sind die Integrationsgrenzen "a" und "b" identisch mit den "a" und "b" aus dem Potential, also kann ich die verrechnen?
Dankeschön schonmal :)
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nee, das sind nur typische Variablennamen, das sind schon unterschiedliche.
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