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| Aufgabe | R: Integritaetsbereich
r,r',s,s' [mm] \in [/mm] R,
u [mm] \in R^{\times}
[/mm]
r|s:= "r teilt s" ...
r|s und s|r <=> r=us
Beweis? |
r|s , d h (1) rr'=s
s|r, d h (2) ss'=r
1 in 2:
rr's'=r
und hieraus soll folgen
rr's'-r=0
Dass das folgt, ist klar. Nur warum ist es von Interesse zu schauen, wie das 0 wird?
Es muss irgendwas mit dem Inversen u (bzgl. MAL oder PLUS?) zu tun haben...
Da wir auf einem Integr.ber. sind, gilt ab=0 gdw mindestenes ein Faktor =0.
Kann mir es bis hier jmd erläutern?
EDIT:
Letztlich sagt doch die Aufgabe:
r teilt s und gleichzeitig teilt s r
gdw r=s.
Schon alleine daraus folgt, dass u=1 sein muss.
u ist also das Neutralelement bzgl. Multiplikation.
Das Neutralelement bzgl. Multiplikation ist 1. Um 1 zu erhalten in der Multiplikation mit u, also uu'=1, muss u inv.bar sein, sonst gibt es ja u' nicht.
Stimmr das?
Komisch nur, dass u' hier gar nicht gefragt ist. (Wenngleich es zu u=1 offensichtlich ist)
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Vermutlich soll $ u $ eine Einheit sein.
Schreibe $ r=a*s $ und $ s=b*r $. Dann gilt $ r=a*b*r $, also $ r (ab-1)=0$, also $ ab =1$, also sind $ a, b $ inverse Einheiten.
Welche Stelle hiervon ist jetzt unklar?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> Schreibe [mm]r=a*s[/mm] und [mm]s=b*r [/mm]. Dann gilt [mm]r=a*b*r [/mm], also [mm]r (ab-1)=0[/mm],
> also [mm]ab =1[/mm], also sind [mm]a, b[/mm] inverse Einheiten.
Statt ab=1 kann auch r=0 gelten.
(Dieser Fall kann gesondert betrachtet werden.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo geigenzaehler!
> R: Integritaetsbereich
> r,r',s,s' [mm]\in[/mm] R,
> u [mm]\in R^{\times}[/mm]
> r|s:= "r teilt s" ...
>
> r|s und s|r <=> r=us
Ich übersetze mal, was wohl gemeint ist:
Sei $R$ ein Integritätsbereich.
Seien [mm] $r,s\in [/mm] R$.
Dann gilt $r|s$ und $s|r$ genau dann, wenn ein [mm] $u\in R^\times$ [/mm] existiert mit $r=us$.
> Beweis?
Offenbar möchtest du nun die Hin-Richtung der genau-dann-wenn-Aussage beweisen.
> r|s , d h (1) rr'=s
Du meinst: Wegen $r|s$ existiert ein [mm] $r'\in [/mm] R$ mit $rr'=s$.
> s|r, d h (2) ss'=r
Du meinst: Wegen $s|r$ existiert ein [mm] $s'\in [/mm] R$ mit $ss'=r$.
> 1 in 2:
Du meinst: Durch Einsetzen von (1) in (2) folgt...
> rr's'=r
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und hieraus soll folgen
>
> rr's'-r=0
> Dass das folgt, ist klar. Nur warum ist es von Interesse zu
> schauen, wie das 0 wird?
Wir wollen Folgendes ins Spiel bringen:
> Da wir auf einem Integr.ber. sind, gilt ab=0 gdw
> mindestenes ein Faktor =0.
Um diese Eigenschaft zu nutzen, müssen wir das Nullelement von $R$ in der Form $0=ab$ darstellen.
Tatsächlich haben wir nun (ausklammern):
$0=rr's'-r=r(r's'-1)$.
Also $r=0$ oder $r's'-1=0$.
1. Fall: $r=0$.
Dann denke mal an $u:=1$.
2. Fall: $r's'-1=0$.
Dann denke mal an $u:=s'$.
> Es muss irgendwas mit dem Inversen u (bzgl. MAL oder
> PLUS?) zu tun haben...
Wir suchen ein [mm] $u\in R^\times$ [/mm] mit $r=us$.
[mm] $u\in R^\times$ [/mm] bedeutet, dass das Ringelement [mm] $u\in [/mm] R$ ein MULTIPLIKATIV Inverses in $R$ besitzt.
ADDITIV Inverse besitzen in jedem Ring sowieso alle Elemente.
> EDIT:
> Letztlich sagt doch die Aufgabe:
>
> r teilt s und gleichzeitig teilt s r
> gdw r=s.
Nein.
Das wäre auch falsch.
Denke etwa an den Integritätsring [mm] $R:=\IZ$, [/mm] $r:=2$ und $r:=-2$.
> Schon alleine daraus folgt, dass u=1 sein muss.
Auch diese Folgerung ist im Allgemeinen falsch:
Selbst wenn $r=s$ gilt, kann durchaus auch $r=us$ mit einem [mm] $u\in R^\times$ [/mm] mit [mm] $u\not=1$ [/mm] gelten:
Denke etwa an [mm] $R:=\IZ$, [/mm] $r:=0$, $s:=0$ und $u=-1$.
> u ist also das Neutralelement bzgl. Multiplikation.
Folgerichtig.
> Das Neutralelement bzgl. Multiplikation ist 1. Um 1 zu
> erhalten in der Multiplikation mit u, also uu'=1, muss u
> inv.bar sein, sonst gibt es ja u' nicht.
Die Existenz eines $u'$ mit $uu'=1$ ist gerade die Definition der Invertierbarkeit von $u$.
> Komisch nur, dass u' hier gar nicht gefragt ist.
Explizit angeben lässt sich $u'$ (zumindest in meinem obigen 2. Fall) in dieser allgemeinen Situation auch kaum.
Noch komplett fehlt der Beweis der Rück-Richtung der genau-dann-wenn-Aussage.
Viele Grüße
Tobias
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