Teiler-Ermittlg. mit Primzahle < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Di 30.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
wenn ich die Teiler von kl. Zahlen haben will, dann geht es noch, eine Zahl nach der anderen auszuprobieren. Aber die Teiler von 84 sind schon ganz schön viele u. f. Kinder sehr mühsam, die alle komplett u. richtig zus.-zukriegen. Deshalb die Frage, ob es nicht einen "Trick" gibt oder ob man nicht die Primzahlen zur Hilfe nehmen kann, um schneller an alle Teiler zu kommen? Vielleicht hilft dabei auch die Quersumme? Oder gar beides? Ich habe keine Ahnung. Aber es wäre super, wenn jmd. eine Antw. hierauf hat u. es außerdem auch nicht zu kompliziert ist, es aufzuschreiben u. zu erklären. Vorab vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Di 30.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Eins vorweg: das Problem die Teiler einer Zahl zu finden bzw. eine Zahl in seine Primfaktoren zu Faktorisieren ist ein schwieriges Problem, bis heute ist kein schneller Algorithmus bekannt. Verschiedene Verschlüsselungsalgorithmen basieren auf dieser Tatsache.
Okay jetzt zu der Frage wie man alle Teiler finden kann. Bei größeren Zahlen ist es denke ich am einfachsten, zunächst die Primfaktorzerlegung zu bestimmen. Daraus erhält man die Menge der Teiler, indem man einfach das Produkt jeder Kombination von Primfaktoren berechnet - die Kombination, in der man gar keinen Primteiler auswählt entspricht dann dem trivialen Teiler 1. Beispiel:
$84=2*2*3*7$ (das ist die Primfaktorzerlegung), jetzt nimmt man alle Kombinationen der Primfaktoren:
$1, 2, 3, 7, 2*2, 2*3, 2*7, 3*7, 2*2*3, 2*2*7, 2*3*7, 2*2*3*7$
Eigentlich hat man ja 16 Kombinationen, aber da der Primteiler $2$ in der Primfaktorzerlegung zweimal auftaucht, kommen dann sozusagen einige Teiler doppelt vor, darum sind es hier nur $12$.
Du kannst ja mal darüber nachdenken wie man anhand der Primfaktorzerlegung errechnen kann, wieviele Teiler es gibt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Robert,
du hast geschrieben:
<84 = 2 * 2 * 3 * 7 das ist die Primfaktorzerlegung,
<jetzt alle Primfaktoren kombiniert:
<1, 2, 3, 7, 2*2, 2*3, 2*7, 3*7, 2*2*3,
<2*2*7, 2*3*7, 2*2*3*7
<Eigentlich hat man ja 16 Kombinationen,
<aber da der Primteiler 2 in der Primfaktor-
<zerlegung zweimal auftaucht, kommen dann
<sozusagen einige Teiler doppelt vor, darum
<sind es hier nur 12.
1.Frage:
Warum steht die 1 da? (1 = keine Primz.)
2.Frage:
Warum fehlt die 5 als Primz.?
(evtl. kann man beide Fragen auch zus. beantw.)
3.Frage:
Warum sind die ersten 4 Zahlen deiner Aufzählung einzelne Zahlen u. warum folgen danach Faktoren, bzw. Produkte?
Um da rein zu kommen habe ich ganz simpel mit T6, T8, T10, T12 bis T30 angefangen.
Ich bin dabei wie folgt vorgegangen u. möchte wissen, ob das schon mal der richtige Weg ist.
Nehmen wir mal T12, da ist schon genug los:
Ich schreibe:
T12 = (1,....................,12)
darunter alle Primzahlen, die unter 12 bleiben:
2, 3 , 5 , 7 , 11
Und nu schau ich wie ich die so miteinand. komb. kann, dass =12
2*3=6
2*5=werden nicht 12
3*5=werden nicht 12
es bleiben nur 2 u. 6 (erstmal)
Oh, da ist doch noch
2*2=4
4*3=12
So u. die 2, 3, 4 u. 6 trage ich jetzt in die MENGENklammer dazu ein.
Ich glaube an diesem Bsp. kann man schon erkennen, dass vllt. noch etw. Struktur fehlt oder ich nicht 100%ig korrekt den Anweisungen gefolgt bin.
Beim T64 habe ich es dann beendet u. aufgegeben.
Da ich bei dieser Zahl durch einen (wie ich finde guten) Zufall komplett abgewichen bin, Kombinationen aus Primfaktoren zu bilden......
64 : 2 = 32
32 : 2 = 16
16 : 2 = 8
8 : 2 = 4
4 : 2 = 2
Das sind schon mal auf die Schnelle einige Teiler.
Wie komme ich nun an die anderen Teiler?
Die nächste Primz. nach der 2 ist die 3, aber mit der ist nichts zu machen; Bei T60 ja u. auch bei T63, aber hier geht es um T64.
Nächste Primz. 5 geht auch nicht (weder null, noch 5 am Ende)
Dann probiere ich die 7, aber die 64 ist nicht dabei.
Die 9, 10, 11 sage ich so, dass die nicht gehen.
Dann käme die 13.....
So u. jetzt werde ich ungeduldig, weil ich wieder da sitze u. tüfftel u. alles so lange dauert
Wo kann man die Eräuterungen von Robert noch ergänzen, sodass ich klar komme?
(mir ist auch klar, dass ich 2*2*2*2*2*2 für 64 schreiben kann, aber damit ist ja nichts gewonnen. Dieser Aussage entnehme ich nur, dass die Primz. 2 T von 64 ist.)
Für nochmalige Nachhilfe vielen Dank!
Gruß
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Hallo, dann will ich mal vesuchen, alle Fragen zu beantworten:
1. Frage:
1 ist Teiler von 84, denn 1*84=84
2. Frage:
5 ist eine Primzahl, 5 ist aber kein Teiler von 84
3. Frage:
die Zahlen 1, 2, 3, 7 sind Teiler von 84, ebenso 2*2=4, also ist 4 auch ein Teiler von 84
mit T6 willst du offenbar sagen, 6 ist ein Teiler von 84, der Teiler setzt sich zusammen aus 2*3=6
mit T8 und T10 willst du offenbar sagen, 8 und 10 sind kein Teiler von 84, wie willst du denn mit den Faktoren 2, 2, 3 und 7 das Produkt 8 bzw. 10 bilden?
Inzwischen sprichst du ja von 64, vorhin von 84, jetzt wird es leider etwas wirr bei dir,
ein Hinweis zur guten alten Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln beherrschen, z.B.
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 01.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich bin dabei wie folgt vorgegangen u. möchte wissen, ob
> das schon mal der richtige Weg ist.
> Nehmen wir mal T12, da ist schon genug los:
Gute Idee
> Ich schreibe:
> T12 = (1,....................,12)
> darunter alle Primzahlen, die unter 12 bleiben:
> 2, 3 , 5 , 7 , 11
> Und nu schau ich wie ich die so miteinand. komb. kann,
Nein, du musst die Primfaktorzerlegung von 12 nehmen, d.h. du schreibst 12 als Produkt aus Primzahlen:
[mm] $12=2^2\cdot3$
[/mm]
(Jede natürliche Zahl lässt sich so zerlegen, und die Zerlegung ist eindeutig, aber das nur am Rande).
Und jetzt nimmst du alle Kombinationen von diesen Primfaktoren die es gibt, das sind die Teiler von $12$.
Wir haben zweimal die $2$ und einmal die $3$. Eine sehr einfache Kombination ist die, die alle Primfaktoren enthält, also 2*2*3=12. Also ist 12 ein Teiler von 12 - macht Sinn.
Jetzt nehmen wir uns eine andere Kombination, z.B. einmal die $2$ und einmal die $3$. $2*3=6$, also ist $6$ ein Teiler von $12$. Wir könne auch nur die $2$ oder nur die $3$ nehmen, also sind auch $2$ und $3$ Teiler von $12$. Und so machst du weiter, bis du alle Kombinationen von Primfaktoren durch hast. Es gibt auch die Kombination, bei der du gar keinen der Primfaktoren auswählst, das entspricht dem Teiler $1$ - klingt komisch, ist aber schön 
Gruß, Robert
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