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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 26.04.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Paare [mm] $(x,y)\in\mathbb{N}^2$, [/mm] für die $x+y$ ein Teiler von $xy$ ist. |
Hallo zusammen,
komme bei der obigen Aufgabe an einer Stelle nicht weiter, vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.
Zunächst stellt man fest, dass die Reihenfolge von x und y unwesentlich ist, denn die Addition und die Multiplikation ist in [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] kommutativ. Sei also $x+y$ ein Teiler von $xy$. Dann gibt es eine Zahl [mm] $a\in\mathbb{N}$ [/mm] mit $xy=a(x+y)$. Ich kann also schreiben:
$xy-xa=ay [mm] \Leftrightarrow x=\frac{ay}{y-a}$. [/mm] Wähle ich nun ein $y$ beliebig dann muss zunächst $a<y$ gelten. Außerdem muss $ay$ ein Vielfaches von $y-a$ sein, denn sonst wäre $x$ nicht ganzzahlig. Hier komme ich leider nicht weiter, außerdem habe ich das Gefühl, dass mir diese ganzen Überlegungen nicht viel weiterhelfen...
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hi Gregor,
> Bestimmen Sie alle Paare [mm](x,y)\in\mathbb{N}^2[/mm], für die [mm]x+y[/mm]
> ein Teiler von [mm]xy[/mm] ist.
mir faellt noch folgendes ein: ist $p$ ein Primteiler von $x + y$, so auch von $x y$ und somit von $x$ oder $y$. Da $p$ aber $x + y$ teilt muss es dann auch jeweils das andere teilen, also daraus folgt $p$ teilt $x$ und $y$. Somit muessen $x$ und $y$ die gleichen Primfaktoren (mit a priori nicht notwendigerweise den gleichen Vielfachheiten haben).
Und wenn $x + y$ ein Teiler von $x y$ ist, dann ist es auch ein Teiler von $(x - [mm] y)^2$, [/mm] da $(x - [mm] y)^2 [/mm] = (x + [mm] y)^2 [/mm] - 4 x y$ ist. Und weiterhin ist [mm] $x^2 [/mm] = x (x + y) - x y$ somit ebenfalls durch $x + y$ teilbar, und analog [mm] $y^2$.
[/mm]
Vielleicht hilft dir das weiter...
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:00 So 27.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hi Felix,
vielen Dank für Deine Hinweise. Wenn ich mir also meine letzte Zeile anschaue und x und y durch ihre Primfaktordarstellung ersetze, erhalte ich
[mm] $x=\frac{ay}{y-a}\Leftrightarrow p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_r^{m_r}=\frac{ap_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}}{p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}-a}$
[/mm]
Nur richtig weiter bringt mich das leider auch nicht. Ich sehe auch leider nicht, wo man [mm] $x+y|x^2$ [/mm] bzw. [mm] $x+y|y^2$ [/mm] einbringen kann...:-(
Viele Grüße
Gregor
> Hi Gregor,
>
> > Bestimmen Sie alle Paare [mm](x,y)\in\mathbb{N}^2[/mm], für die [mm]x+y[/mm]
> > ein Teiler von [mm]xy[/mm] ist.
>
> mir faellt noch folgendes ein: ist [mm]p[/mm] ein Primteiler von [mm]x + y[/mm],
> so auch von [mm]x y[/mm] und somit von [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm]. Da [mm]p[/mm] aber [mm]x + y[/mm]
> teilt muss es dann auch jeweils das andere teilen, also
> daraus folgt [mm]p[/mm] teilt [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]. Somit muessen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] die
> gleichen Primfaktoren (mit a priori nicht notwendigerweise
> den gleichen Vielfachheiten haben).
>
> Und wenn [mm]x + y[/mm] ein Teiler von [mm]x y[/mm] ist, dann ist es auch ein
> Teiler von [mm](x - y)^2[/mm], da [mm](x - y)^2 = (x + y)^2 - 4 x y[/mm] ist.
> Und weiterhin ist [mm]x^2 = x (x + y) - x y[/mm] somit ebenfalls
> durch [mm]x + y[/mm] teilbar, und analog [mm]y^2[/mm].
>
> Vielleicht hilft dir das weiter...
>
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 12.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:24 Do 08.05.2008 | | Autor: | anstei |
> mir faellt noch folgendes ein: ist [mm]p[/mm] ein Primteiler von [mm]x + y[/mm],
> so auch von [mm]x y[/mm] und somit von [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm]. Da [mm]p[/mm] aber [mm]x + y[/mm]
Bitte? [mm]x=1, y=3 \Rightarrow 2|x+y[/mm], aber 2 teilt weder x noch y noch xy!
Damit dürfte auch der Rest der Idee hinfällig sein.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 15:34 Do 08.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo anstei
felix Aussage gilt natürlich nur- und so wars gemeint- wenn x+y x*y teilt.
Du solltest also die Aufgabe mitlesen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:13 Fr 09.05.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo leduart,
Ich habe die Aufgabe durchaus gelesen, aber so wie Felix die Aussage geschrieben hat (``so auch von xy'') muss ich davon ausgehen, dass er dies nicht so gemeint hat.
Gruss,
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 09.05.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Gregor,
Schreibe mal x und y mit Hilfe des ggT(x,y)=:d als d*a und d*b. Dann erhältst du also, dass d*(a+b) ein Teiler von [mm] d^2*a*b [/mm] sein soll, und man sieht, dass sich das Problem auf den Fall ggT(x,y)=1 reduzieren kann. (Achtung, leichte Ungenauigkeit: Teiler von a+b könnten a priori auch Teiler von d sein)
Was lässt sich dann über die Teiler von x und y in x+y bzw. x*y sagen? Und: Kann ein Teiler von x+y überhaupt x*y teilen?
Gruss,
Andreas
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