Teilfolge konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Di 11.11.2008 | | Autor: | msxey |
| Aufgabe | [mm] (b_{n})_{m\in\IN} [/mm] sei eine Teilfolge von [mm] ((-1)^{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})_{n\in\IN}
[/mm]
Zeigen Sie: Wenn [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert, so ist der Limes 1 oder -1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
einen schönen guten abend
die Aufgabe macht mir ein wenig zu schaffen ^^. ich weiß nicht so recht wie ich anfangen soll
Erst einmal ist die oben genannte Folge ja alternierend konvergent gegen -1 und 1. Daher habe ich mit dem Gedanken gespielt diese Folge in zwei konstante Teilfolgen zu unterteilen, einmal [mm] (-1)^{2k} [/mm] = 1 und [mm] (-1)^{2k+1} [/mm] = -1
und dann die Grenzwerte zu bestimmen...
anderer seits habe ich gedacht, da [mm] (b_{n}) [/mm] konvergent mit Grenzwert a ist. Dann ist ja auch jede Teilfolge [mm] (b_{n}_{k} )_{k\in\IN} [/mm] von [mm] (b_{n}) [/mm] konvergent, und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}_{k} [/mm] = a.
ich tendiere mehr zur ersten variante.
Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich es "formmäßig" richtig aufschreiben könnte ^^
für ein kleines feedback und einen lösungsansatz wäre ich sehr dankbar
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 11.11.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm](b_{n})_{m\in\IN}[/mm] sei eine Teilfolge von [mm]((-1)^{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n})_{n\in\IN}[/mm]
> Zeigen Sie: Wenn [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergiert, so ist der
> Limes 1 oder -1.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> einen schönen guten abend
>
> die Aufgabe macht mir ein wenig zu schaffen ^^. ich weiß
> nicht so recht wie ich anfangen soll
>
> Erst einmal ist die oben genannte Folge ja alternierend
> konvergent gegen -1 und 1. Daher habe ich mit dem Gedanken
> gespielt diese Folge in zwei konstante Teilfolgen zu
> unterteilen, einmal [mm](-1)^{2k}[/mm] = 1 und [mm](-1)^{2k+1}[/mm] = -1
> und dann die Grenzwerte zu bestimmen...
>
> anderer seits habe ich gedacht, da [mm](b_{n})[/mm] konvergent mit
> Grenzwert a ist. Dann ist ja auch jede Teilfolge [mm](b_{n}_{k} )_{k\in\IN}[/mm]
> von [mm](b_{n})[/mm] konvergent, und es gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}_{k}[/mm] = a.
>
> ich tendiere mehr zur ersten variante.
> Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich es "formmäßig"
> richtig aufschreiben könnte ^^
>
> für ein kleines feedback und einen lösungsansatz wäre ich
> sehr dankbar
>
> LG
>
Kannst du es nicht indirekt beweisen?
Gegenannahme: die Folge hat einen Grenzwert g, der weder -1 noch 1 ist. Dann kannst du zeigen, dass in einer hinreichend kleinen [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von g maximal ein Folgenglied liegt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 11.11.2008 | | Autor: | msxey |
ich weiß net wirklich ob das gemeint ist...
grundsätzlich frag ich ob mein ansatz richtig ist ^^
wenn nicht dann den Lösungsweg nen bissel explizit aufschreiben :P
MFG msxey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Do 13.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo msxey,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Anders formuliert lautet doch Deine Aufgabe:
"Zeige, dass die Folge nur die beiden Häufungspunkte +1 und -1 besitzt."
Von daher musst Du zeigen, dass es keinen weiteren Häufungspunkt gibt. Und das geht dann exakt in Richtung von abakus' Hinweis.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Do 13.11.2008 | | Autor: | msxey |
das mit den häufigkeitspunkten hatte ich zwar auch schon angemerkt allerdings "sollen" wir dies nicht benutzen da wir das in den vorlesungen nicht hatten...
deswegen bin ich ja gerade am verzweifeln weil ich echt keine ahnung habe wie ich das sonst machen sollte ^^ mein forster sagt auch nix anderes als häufungspunkte
LG msxey
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Konvergent mit Grenzwert g heißt eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN}, [/mm] wenn
[mm] \forall\varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} [/mm] so dass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] gilt [mm] |g-a_{n}|<\varepsilon
[/mm]
Sei nun g ein Grenzwert mit [mm] g\not=1 [/mm] und [mm] g\not=-1. [/mm] Dann nimm den kleineren Abstand von g zu 1 bzw. g zu -1 und zeige, dass du ein so kleines [mm] \varepsilon [/mm] (z.B. die Hälfte von dem kleineren Abstand) wählen kannst, so dass kein [mm] n_{0} [/mm] existiert mit obiger Bedingung. D.h. es gibt immer wieder ein Folgenglied, das deine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] verlässt.
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