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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe da eine Frage zu Teilfolgen, Grenzwerten und Häufungspunkten.
Also ich hab zum einen die Aussage, dass wenn eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen einen Grenzwert a konvergiert, dass dann auch alle Teilfolgen von [mm] (a_n) [/mm] gegen denselben Grenzwert a konvergieren.
Dann hab ich noch diie Aussage, dass für einen Häufungspunkt es hinreichend ist, dass eine Teilfolge gegen den Häufungspunkt konvergiert.
Das verwirrt mich jetzt etwas.
Also wenn ich eine Folge mit Grenzwert a habe, dann haben auch alle Teilfolgen diesen Grenzwert, richtig?
Was ist, wenn meine Folge jetzt einen Grenzwert a hat, aber zusätzlich zu dem Grenzwert noch einen Häufungspunkt h?
Dann müssen ja zum einen alle Teilfolgen gegen den Grenzwert a konvergieren. Und zusätzlich muss es eine Teilfolge geben, die gegen den Häufungspunkt h konvergiert? Aber es kann doch nicht eine Teilfolge zwei Grenzwerte haben, oder?
Weil ich habe gerade noch gelesen, dass in allgemeineren topologischen Räumen eine Folge gleichzeitig sowohl einen Grenzwert besitzen kann als auch einen Häufungspunkt, der kein Grenzwert ist.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mo 23.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen!
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> Ich habe da eine Frage zu Teilfolgen, Grenzwerten und
> Häufungspunkten.
>
> Also ich hab zum einen die Aussage, dass wenn eine Folge
> [mm](a_n)[/mm] gegen einen Grenzwert a konvergiert, dass dann auch
> alle Teilfolgen von [mm](a_n)[/mm] gegen denselben Grenzwert a
> konvergieren.
>
> Dann hab ich noch diie Aussage, dass für einen
> Häufungspunkt es hinreichend ist, dass eine Teilfolge
> gegen den Häufungspunkt konvergiert.
>
> Das verwirrt mich jetzt etwas.
>
> Also wenn ich eine Folge mit Grenzwert a habe, dann haben
> auch alle Teilfolgen diesen Grenzwert, richtig?
>
> Was ist, wenn meine Folge jetzt einen Grenzwert a hat, aber
> zusätzlich zu dem Grenzwert noch einen Häufungspunkt h?
Hallo, dieser Fall ist unmöglich.
Häufungspunkt: unendlich viele Folgenglieder innerhalb jeder noch so kleinen Epsilon-Umgebung (und fertig).
Beispiel: (1,-1,1,-1,1,-1...) hat die beiden Häufungspunkte 1 und -1.
Grenzwert: unendlich viele Folgenglieder innerhalb jeder noch so kleinen Epsilon-Umgebung UND NUR ENDLICH VIELE Folgenglieder außerhalb davon. Nur endlich viele Folgenglieder reichen nicht aus, um irgendwo anders noch einen Häufungspunkt fernab vom Grenzwert zu bilden.
Gruß Abakus
>
> Dann müssen ja zum einen alle Teilfolgen gegen den
> Grenzwert a konvergieren. Und zusätzlich muss es eine
> Teilfolge geben, die gegen den Häufungspunkt h
> konvergiert? Aber es kann doch nicht eine Teilfolge zwei
> Grenzwerte haben, oder?
>
> Weil ich habe gerade noch gelesen, dass in allgemeineren
> topologischen Räumen eine Folge gleichzeitig sowohl einen
> Grenzwert besitzen kann als auch einen Häufungspunkt, der
> kein Grenzwert ist.
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo abakus!
> > Was ist, wenn meine Folge jetzt einen Grenzwert a hat, aber
> > zusätzlich zu dem Grenzwert noch einen Häufungspunkt h?
> Hallo, dieser Fall ist unmöglich.
> Häufungspunkt: unendlich viele Folgenglieder innerhalb
> jeder noch so kleinen Epsilon-Umgebung (und fertig).
> Beispiel: (1,-1,1,-1,1,-1...) hat die beiden
> Häufungspunkte 1 und -1.
> Grenzwert: unendlich viele Folgenglieder innerhalb jeder
> noch so kleinen Epsilon-Umgebung UND NUR ENDLICH VIELE
> Folgenglieder außerhalb davon. Nur endlich viele
> Folgenglieder reichen nicht aus, um irgendwo anders noch
> einen Häufungspunkt fernab vom Grenzwert zu bilden.
Ich verstehe deine Argumentation, schonmal vielen Dank dafür.
> > Weil ich habe gerade noch gelesen, dass in allgemeineren
> > topologischen Räumen eine Folge gleichzeitig sowohl einen
> > Grenzwert besitzen kann als auch einen Häufungspunkt, der
> > kein Grenzwert ist.
Das habe ich hier bei Wikipedia im Abschnitt ![[]](/images/popup.gif) Häufungspunkte und Grenzwerte gelesen.
Ist das falsch was da steht, oder befinden wir uns einfach nicht in allgemeinen topologischen Räumen?
LG Nadine
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Huhu,
> Ist das falsch was da steht, oder befinden wir uns einfach
> nicht in allgemeinen topologischen Räumen?
falsch ist es erstmal nicht und wir befinden und schon in einem topologischen Raum.
Allerdings gibt es auch topologische Räume, die du dir nur sehr schwer vorstellen kannst, verdeutlichen wir das einmal an einem Beispiel:
Die meisten Räume, die du kennst, besitzen ja die Möglichkeit, einen "Abstand" zwischen zwei Punkten x und y zu definieren, eine so genannte "Metrik", nennen wir sie d.
Sind zwei Punkte unterschiedlich, so haben sie einen Abstand, der echt grösser als Null ist, d.h. es gilt
[mm] $x\not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] d(x,y) > 0$.
In solchen Räumen kann eine konvergente keinen vom Grenzwert verschiedenen Häufungspunkt haben. Warum erklärt sich leicht aus der Definition vom Grenzwert, der ja besagt, dass für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ab einem bestimmten Punkt ALLE Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung um den Grenzwert liegen.
Wähle ich mir nun einen anderen Punkt als den GW, kann dieser kein Häufungspunkt sein, da dieser einen Abstand grösser Null vom GW hat.
Dann wähle ich mir mein [mm] \varepsilon [/mm] einfach kleiner als den Abstand zwischen diesen beiden Punkten und schon liegen alle Punkte "zu weit" weg von diesem vermeindlichen "Häufungspunkt".
Nun zum kritischen Teil der Erklärung: Es gibt topologische Räume, da klappt diese "Abstandsgeschichte" nicht, diese Punkte sind nicht "seperabel", d.h. es kann passieren, dass man keinen Abstand > 0 zwischen verschiedenen Punkten definieren kann und schon klappt obige Argumentation nicht mehr (ohne näher darauf einzugehen).
Aber das ist der Grund, wieso in allgemeinen topologischen Räumen auch der Vorstellung widersprechende Dinge wie Grenzwert UND Häufungspunkt auftreten können.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Huhu,
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> > Ist das falsch was da steht, oder befinden wir uns einfach
> > nicht in allgemeinen topologischen Räumen?
>
> falsch ist es erstmal nicht und wir befinden und schon in
> einem topologischen Raum.
> Allerdings gibt es auch topologische Räume, die du dir
> nur sehr schwer vorstellen kannst, verdeutlichen wir das
> einmal an einem Beispiel:
>
> Die meisten Räume, die du kennst, besitzen ja die
> Möglichkeit, einen "Abstand" zwischen zwei Punkten x und y
> zu definieren, eine so genannte
> "Metrik",
> nennen wir sie d.
>
> Sind zwei Punkte unterschiedlich, so haben sie einen
> Abstand, der echt grösser als Null ist, d.h. es gilt
>
> [mm]x\not= y \Rightarrow d(x,y) > 0[/mm].
>
> In solchen Räumen kann eine konvergente keinen vom
> Grenzwert verschiedenen Häufungspunkt haben. Warum
> erklärt sich leicht aus der Definition vom Grenzwert, der
> ja besagt, dass für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] ab einem
> bestimmten Punkt ALLE Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung
> um den Grenzwert liegen.
>
> Wähle ich mir nun einen anderen Punkt als den GW, kann
> dieser kein Häufungspunkt sein, da dieser einen Abstand
> grösser Null vom GW hat.
>
> Dann wähle ich mir mein [mm]\varepsilon[/mm] einfach kleiner als
> den Abstand zwischen diesen beiden Punkten und schon liegen
> alle Punkte "zu weit" weg von diesem vermeindlichen
> "Häufungspunkt".
>
> Nun zum kritischen Teil der Erklärung: Es gibt
> topologische Räume, da klappt diese "Abstandsgeschichte"
> nicht, diese Punkte sind nicht "seperabel", d.h. es kann
> passieren, dass man keinen Abstand > 0 zwischen
> verschiedenen Punkten definieren kann und schon klappt
> obige Argumentation nicht mehr (ohne näher darauf
> einzugehen).
nur ergänzend:
Man kann sich z.B. mal halbmetrische Räume anschauen.
P.S.:
Ich glaube, Du meintest nicht separabel, sondern separiert?
P.P.S.:
Z.B. könnte man folgende Pseudometrik für farbige Objektedefinieren:
Der Abstand zweier Objekte ist Null, wenn sie die gleiche Farbe haben, ansonsten 1 (oder generell: eine feste Zahl [mm] $>0\,$). [/mm] Dann haben auch verschiedene blaue Objekte den Abstand 0 voneinander, und eine Folge in dieser Menge konvergiert genau dann, wenn sie ab einem gewissen Index nur noch gleichfarbige Objekte als Folgenelement hat. Der Grenzwert ist hier nicht eindeutig (man kann hier aber durchaus einfach mit Äquivalenzklassen arbeiten und aus dem pseudometrischen einen metrischen Raum machen).
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 24.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe da eine Frage zu Teilfolgen, Grenzwerten und
> Häufungspunkten.
>
> Also ich hab zum einen die Aussage, dass wenn eine Folge
> [mm](a_n)[/mm] gegen einen Grenzwert a konvergiert, dass dann auch
> alle Teilfolgen von [mm](a_n)[/mm] gegen denselben Grenzwert a
> konvergieren.
>
> Dann hab ich noch diie Aussage, dass für einen
> Häufungspunkt es hinreichend ist, dass eine Teilfolge
> gegen den Häufungspunkt konvergiert.
>
> Das verwirrt mich jetzt etwas.
>
> Also wenn ich eine Folge mit Grenzwert a habe, dann haben
> auch alle Teilfolgen diesen Grenzwert, richtig?
>
> Was ist, wenn meine Folge jetzt einen Grenzwert a hat, aber
> zusätzlich zu dem Grenzwert noch einen Häufungspunkt h?
Dann ist a=h
>
> Dann müssen ja zum einen alle Teilfolgen gegen den
> Grenzwert a konvergieren. Und zusätzlich muss es eine
> Teilfolge geben, die gegen den Häufungspunkt h
> konvergiert? Aber es kann doch nicht eine Teilfolge zwei
> Grenzwerte haben, oder?
S.o. : a=h
FRED
>
> Weil ich habe gerade noch gelesen, dass in allgemeineren
> topologischen Räumen eine Folge gleichzeitig sowohl einen
> Grenzwert besitzen kann als auch einen Häufungspunkt, der
> kein Grenzwert ist.
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 24.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Wenn ich jetzt die Folge [mm] $(a_n)=(1,-1,1,-1,1,-1,...)$ [/mm] habe, dann hab ich ja zwei Häufungspunkte, nämlich 1 und -1.
Heißt das, dass dann gegen jeden Häufungspunkt eine Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] konvergiert?
Also z.B. ist ja $(1,1,1,...)$ eine Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] die gegen 1 konvergiert und $(-1,-1,-1,...)$ eine Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] die gegen -1 konvergiert.
Ist das so richtig?
LG Nadine
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Hi Nadine,
> Hallo zusammen!
>
> Wenn ich jetzt die Folge [mm](a_n)=(1,-1,1,-1,1,-1,...)[/mm] habe,
> dann hab ich ja zwei Häufungspunkte, nämlich 1 und -1.
>
> Heißt das, dass dann gegen jeden Häufungspunkt eine
> Teilfolge von [mm](a_n)[/mm] konvergiert?
>
> Also z.B. ist ja [mm](1,1,1,...)[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_n)[/mm] die
> gegen 1 konvergiert und [mm](-1,-1,-1,...)[/mm] eine Teilfolge von
> [mm](a_n)[/mm] die gegen -1 konvergiert.
>
> Ist das so richtig?
Jo ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> LG Nadine
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 24.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Folge und h [mm] \in \IR, [/mm] so gilt:
h ist Häufungspunkt von [mm] (a_n) \gdw [/mm] es gibt eine Teilfolge von [mm] (a_n), [/mm] die gegen h konvergiert.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Di 24.08.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo und danke für eure Antworten 
LG Nadine
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