Teilmenge bzw. Element < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 So 31.10.2010 | | Autor: | Maaadin |
| Aufgabe | Es seien [mm]a, b, c[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen. Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
(a) [mm]a\in\{a, b, c\}[/mm]
(b) [mm]a\subset\{a, b, c\}[/mm]
(c) [mm]\emptyset \subset \{a, b, c\}[/mm]
(d) [mm]\{b,\{c\}\} \subset \{a,b,b\}[/mm]
(e) [mm]\{\emptyset\} \subset \{a, b, b\}[/mm]
(f) [mm]\{d,\{d\}\}\in\{d, \{d,\{d\}\}, \{d\}\}[/mm]
(g) [mm]\emptyset \subset {P}(\{a, b, c\})[/mm]
(h) [mm]\emptyset \in {P}(\{a, b, c\})[/mm] |
Hallo zusammen!
Im Grunde sind die Aufgaben ja schnell zu lösen. Mir geht es eigentlich mehr um den genauen Unterschied zwischen der Teilmenge, dem Element und der leeren Menge.
Zunächst die Antworten zu den Aufgaben:
a) wahr
b) falsch
c) falsch (unsicher)
d) falsch
e) wahr
f) wahr
g) unklar
h) unklar
Sind die Antworten, selbstverständlich nur diejenigen, die ich auch beantwortet habe, richtig?
Ich habe das mehr so aus dem Bauch heraus gemacht.
Mir ist der konkrete Unterschied zwischen "[mm]\in[/mm]" und "[mm]\subset[/mm]" noch nicht ganz bewusst.
Gehört die Null ([mm]\emptyset[/mm]) auch zu der Teilmenge einer Menge oder nur die "leere Menge" ([mm]\{\emptyset\}[/mm]).
Frage g) und h) sind mir auch noch nicht ganz klar. Potenzmenge ist laut Definition, soweit ich mich erinnern kann, ja die Mengen aller Teilmengen, was heißt das genau?
Schon einmal vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 31.10.2010 | | Autor: | algieba |
Hi Martin
> Es seien [mm]a, b, c[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen.
> Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder
> falsch sind:
>
> (a) [mm]a\in\{a, b, c\}[/mm]
> (b) [mm]a\subset\{a, b, c\}[/mm]
> (c) [mm]\emptyset \subset \{a, b, c\}[/mm]
>
> (d) [mm]\{b,\{c\}\} \subset \{a,b,b\}[/mm]
> (e) [mm]\{\emptyset\} \subset \{a, b, b\}[/mm]
>
> (f) [mm]\{d,\{d\}\}\in\{d, \{d,\{d\}\}, \{d\}\}[/mm]
> (g) [mm]\emptyset \subset {P}(\{a, b, c\})[/mm]
>
> (h) [mm]\emptyset \in {P}(\{a, b, c\})[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Im Grunde sind die Aufgaben ja schnell zu lösen. Mir geht
> es eigentlich mehr um den genauen Unterschied zwischen der
> Teilmenge, dem Element und der leeren Menge.
>
> Zunächst die Antworten zu den Aufgaben:
>
> a) wahr
> b) falsch
> c) falsch (unsicher)
> d) falsch
> e) wahr
> f) wahr
> g) unklar
> h) unklar
>
> Sind die Antworten, selbstverständlich nur diejenigen, die
> ich auch beantwortet habe, richtig?
Einige sind richtig, manche aber auch falsch. Ich sage dir jetzt aber noch nicht welche, da du das selber herausfinden sollst.
> Ich habe das mehr so aus dem Bauch heraus gemacht.
> Mir ist der konkrete Unterschied zwischen "[mm]\in[/mm]" und
> "[mm]\subset[/mm]" noch nicht ganz bewusst.
Fangen wir mit [mm] "$\in$" [/mm] an:
Sei [mm] $M=\{a,b,c\}$ [/mm] eine Menge mit beliebigen Einträgen a,b,c (Das kann alles sein z.B. auch Mengen)
Dann heißen a,b,c Elemente von M also [mm] $a\in [/mm] M, [mm] b\in [/mm] M, [mm] c\in [/mm] M$.
Schauen wir uns das mal an einem konkreten Beispiel an:
Sei $M= [mm] \{\{1,2\},2,3\}$. [/mm] Das ist eine Menge mit den 3 Elementen [mm] $a=\{1,2\}$, [/mm] $b=2$ und $c=3$. Das bedeutet, dass [mm] $\{1,2\}\in [/mm] M$ aber z.B. [mm] $1\not\in [/mm] M$ da die 1 keines der drei Elemente a,b,c ist.
Nun zur Teilmenge [mm] "$\subset$":
[/mm]
Das Wichtigste zuerst: Eine Teilmenge kann, wie der Name schon sagt, nur eine Menge sein. Wenn also zum Beispiel steht: [mm] $1\subset\{1,2,3\}$ [/mm] dann kann das gar nicht stimmen, da die 1 keine Menge ist, sondern nur eine einzelne Zahl.
Nun zur Definition: (erst anschaulich, dann mathematisch)
Eine Menge A ist eine Teilmenge einer Menge B wenn jedes Element aus A auch in B enthalten ist.
[mm] $A\subset [/mm] B [mm] \Leftrightarrow (\forall x\in [/mm] A : [mm] x\in [/mm] B)$
> Gehört die Null ([mm]\emptyset[/mm]) auch zu der Teilmenge einer
> Menge oder nur die "leere Menge" ([mm]\{\emptyset\}[/mm]).
Du verwechselst hier was. [mm] $\emptyset$ [/mm] ist nicht die Null, sondern es gilt [mm] $\emptyset [/mm] := [mm] \{\}$, [/mm] das ist also die Menge die keine Elemente enthält. Die Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] nennt man leere Menge. Das was du als leere Menge bezeichnet hast [mm] ($\{\emptyset\}$) [/mm] ist nicht die leere Menge, sondern eine Menge mit einem Element, eben der leeren Menge.
Die leere Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] ist Teilmenge jeder Menge. Ein Element von einer Menge ist sie nur, wenn sie in der Menge enthalten ist, also z.B. in [mm] $\{1,2,\emptyset,3,4\}$
[/mm]
> Frage g) und h) sind mir auch noch nicht ganz klar.
> Potenzmenge ist laut Definition, soweit ich mich erinnern
> kann, ja die Mengen aller Teilmengen, was heißt das
> genau?
Was eine Teilmenge ist, habe ich dir ja oben erklärt. Die Potenzmenge einer Menge ist dann einfach die Menge die alle Teilmengen enthält.
Zahlenbeispiel: Sei [mm] $M=\{1,2\}$. [/mm] Dann ist $P(M) = [mm] \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$ [/mm] Das ist eine Menge mit 4 Elementen. Es gilt übrigens dass wenn die Ursprungsmenge n Elemente hat, dann hat die Potenzmenge [mm] $2^n$ [/mm] Elemente. Das solltest du aber noch beweisen bevor du es irgendwo verwendest.
Jetzt versuche nochmal deine Aufgabe, und poste sie hier.
Viele Grüße
algieba
>
> Schon einmal vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Gruß,
> Martin
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Maaadin |
Vielen Dank für die ausführliche und super erklärte Rückmeldung!
Jetzt müsste ich es verstanden haben.
Dann nochmals ein Nachtrag zu den Lösungen (bitte um Korrektur):
a) wahr
b) falsch
c) wahr
d) falsch
e) falsch
f) wahr
g) wahr
h) falsch
Kurz zur Potenzmenge: [mm] $2^n$ [/mm] haben wir (glaube ich) irgendwann in der Vorlesung mal bewiesen, deswegen benutz ich das jetzt einfach, ohne es nochmals zu beweisen. Wir sind Informatiker, keine Mathematiker =)
Viele Grüße,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Mo 01.11.2010 | | Autor: | algieba |
> Vielen Dank für die ausführliche und super erklärte
> Rückmeldung!
> Jetzt müsste ich es verstanden haben.
>
> Dann nochmals ein Nachtrag zu den Lösungen (bitte um
> Korrektur):
>
> a) wahr
> b) falsch
> c) wahr
> d) falsch
> e) falsch
> f) wahr
> g) wahr
> h) falsch
Das ist fast alles richtig außer die letzte! Die leere Menge ist immer eine Teilmenge jeder Menge. Daher ist sie auch in jeder Potenzmenge enthalten.
Es gilt also [mm] $\emptyset \in P(\{a,b,c\})$
[/mm]
Sonst ist aber alles super
Viele Grüße
algieba
>
> Kurz zur Potenzmenge: [mm]2^n[/mm] haben wir (glaube ich) irgendwann
> in der Vorlesung mal bewiesen, deswegen benutz ich das
> jetzt einfach, ohne es nochmals zu beweisen. Wir sind
> Informatiker, keine Mathematiker =)
>
> Viele Grüße,
> Martin
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Maaadin |
Aha.
Dann ist die leere Menge doch ein Sonderfall, oder nicht?
Ansonsten verstehe ich nicht, wie ein Wert, sowohl ein Element als auch eine Teilmenge sein kann.
Vielen Dank für deine Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mo 01.11.2010 | | Autor: | algieba |
Hi
Nein die leere Menge ist kein Sonderfall. Die leere Menge ist wie jede andere Menge. Zum Beispiel ist die Menge [mm] $\{1,2\}$ [/mm] auch gleichzeitig Teilmenge und Element von [mm] $\{\{1,2\},1,2\}$. [/mm]
Gruß
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