Teilmenge definiert eine Funkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Di 27.10.2009 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Wir betrachten [mm] \IQ [/mm] als die Quotientenmenge von [mm] \IQ [/mm] := [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] \ {0} nach der Äquivalenzrelation (p,q) [mm] \sim [/mm] (p´,q´) genau dann, wenn pq´=p´q. Für die Äquivalenzklasse von (p,q) schreiben wir auch [mm] \bruch{p}{q}. [/mm] Beweisen Sie, dass die teilmenge [mm] f_{1} [/mm] := {(((p,q),(p´,q´)),(pq´+qp´,qq´)) [mm] \in [/mm] (QxQ)xQ}
eine Funktion [mm] f_{1}: [/mm] QxQ /to Q definiert |
Wie kann ich an diesen beweis rangehen?
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Vielen Dank und Gruß
Iris
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> Wir betrachten [mm]\IQ[/mm] als die Quotientenmenge von
> [mm]\IQ:=\IZ\times \IZ\backslash \{0\}[/mm] nach der Äquivalenzrelation
> (p,q) [mm]\sim[/mm] (p',q')
> genau dann, wenn pq'=p'q. Für die Äquivalenzklasse
> von (p,q) schreiben wir auch [mm]\bruch{p}{q}.[/mm] Beweisen Sie, dass
> die teilmenge
> [mm]f_{1}:=\{(((p,q),(p',q')),(pq'+qp',qq'))\in (Q\times Q)\times Q\}[/mm]
>
> eine Funktion [mm]f_{1}: \IQ\times \IQ \to \IQ[/mm] definiert
> Wie kann ich an diesen beweis rangehen?
> Vielen Dank und Gruß
> Iris
Hallo Iris,
zunächst ist diese "Teilmenge" von [mm] (\IQ\times\IQ)\times\IQ [/mm] natürlich
nichts anderes als eine Relation, und zwar eine, die man
auch als zweistellige Funktion von [mm] \IQ\times\IQ [/mm] nach [mm] \IQ [/mm] oder eben
als eine "Operation auf [mm] \IQ [/mm] " auffassen kann.
Das sollte man allerdings nachweisen (Rechtseindeutigkeit).
Mach dir am besten zuerst klar, um welche wohlvertraute
Operation es sich handelt. Zudem möchte ich dir der
Übersichtlichkeit zuliebe vorschlagen, bessere Bezeich-
nungen als die lästigen p,q,p',q' etc. zu benützen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 27.10.2009 | | Autor: | IrisL. |
Vielen Dank für Deine Antwort. Aber da sehe ich momentan den Wald vor lauter Bäumen nicht. Wie soll denn die Funktion aussehen? Welches sind die Funktionswerte? und welches das Ergebnis?
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> Vielen Dank für Deine Antwort. Aber da sehe ich momentan
> den Wald vor lauter Bäumen nicht. Wie soll denn die
> Funktion aussehen? Welches sind die Funktionswerte? und
> welches das Ergebnis?
Benütze die vorgeschlagene Schreibweise [mm] \frac{p}{q}
[/mm]
(für eine Äquivalenzklasse) anstelle der
Paarschreibweise (p,q) . Die Relation [mm] f_1 [/mm] , als
Funktion aufgefasst, ordnet dann einem Paar
[mm] $\left(\, \frac{p}{q}\ ,\ \frac{r}{s}\,\right)$
[/mm]
von Äquivalenzklassen das Element
[mm] $\frac{p*s+r*q}{q*s}$
[/mm]
(selbst wieder eine Äquivalenzklasse) zu.
Na, klingelt's irgendwo ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 27.10.2009 | | Autor: | IrisL. |
Klar, das ist die Addition von Brüchen. Also wäre [mm] f_{1}(\bruch{p}{q},\bruch{r}{s}) [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] + [mm] \bruch{r}{s} [/mm] und das wäre ja das zweite Element der Teilmenge [mm] f_{1}?!
[/mm]
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> Klar, das ist die Addition von Brüchen. Also wäre
> [mm]f_{1}(\bruch{p}{q},\bruch{r}{s})[/mm] = [mm]\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}[/mm]
> und das wäre ja das zweite Element der
> Teilmenge [mm]f_{1}?![/mm]
Gut, jetzt weisst du, wovon die Rede ist. Jetzt
geht es aber noch darum, zu zeigen, weshalb
die so definierte Relation nun wirklich als eine
Funktion aufgefasst werden kann. Der begriff-
lichen Klarheit zuliebe wäre es vielleicht dienlich,
für die Relation und die Funktion vorerst ver-
schiedene Bezeichnungen zu benützen, also
nicht beides mit [mm] f_1 [/mm] zu bezeichnen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 27.10.2009 | | Autor: | IrisL. |
> > Klar, das ist die Addition von Brüchen. Also wäre
> > [mm]f_{1}(\bruch{p}{q},\bruch{r}{s})[/mm] =
> [mm]\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}[/mm]
> > und das wäre ja das zweite Element der
> > Teilmenge [mm]f_{1}?![/mm]
>
>
> Gut, jetzt weisst du, wovon die Rede ist. Jetzt
> geht es aber noch darum, zu zeigen, weshalb
> die so definierte Relation nun wirklich als eine
> Funktion aufgefasst werden kann. Der begriff-
> lichen Klarheit zuliebe wäre es vielleicht dienlich,
> für die Relation und die Funktion vorerst ver-
> schiedene Bezeichnungen zu benützen, also
> nicht beides mit [mm]f_1[/mm] zu bezeichnen.
>
> LG Al-Chw.
>
Womit wior wieder bei der Ausgangsfrage wären, wie ich da vorgehe.
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> > > Klar, das ist die Addition von Brüchen. Also wäre
> > > [mm]f_{1}(\bruch{p}{q},\bruch{r}{s})=\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}[/mm]
> > > und das wäre ja das zweite Element der
> > > Teilmenge [mm]f_{1}?![/mm]
> >
> >
> > Gut, jetzt weisst du, wovon die Rede ist. Jetzt
> > geht es aber noch darum, zu zeigen, weshalb
> > die so definierte Relation nun wirklich als eine
> > Funktion aufgefasst werden kann. Der begriff-
> > lichen Klarheit zuliebe wäre es vielleicht dienlich,
> > für die Relation und die Funktion vorerst ver-
> > schiedene Bezeichnungen zu benützen, also
> > nicht beides mit [mm]f_1[/mm] zu bezeichnen.
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
> Womit wir wieder bei der Ausgangsfrage wären, wie ich da
> vorgehe.
Hier nochmals die Aufgabenstellung:
| Aufgabe | Wir betrachten [mm] \IQ [/mm] als die Quotientenmenge von [mm] \IQ [/mm] := [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] \ {0} nach der Äquivalenzrelation (p,q) [mm] \sim [/mm] (p',q') genau dann, wenn pq'=p'q. Für die Äquivalenzklasse von (p,q) schreiben wir auch [mm] \bruch{p}{q}. [/mm] Beweisen Sie, dass die teilmenge [mm] f_{1} [/mm] := {(((p,q),(p',q')),(pq'+qp',qq')) [mm] \in [/mm] (QxQ)xQ}
eine Funktion [mm] f_{1}: [/mm] QxQ /to Q definiert |
Genau sollte es heißen:
"Wir betrachten [mm] \IQ [/mm] als die Quotientenmenge von [mm] $\IZ \times (\IZ\backslash \{0\})$ [/mm]
nach der Äquivalenzrelation
$(p,q)\ [mm] \sim\ (p',q')\quad :\gdw\quad [/mm] pq'=p'q$ ...."
Zuallererst sollte man (sofern das noch nicht geschehen
ist) nachweisen, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation
ist (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
Zweitens ist zu zeigen, dass das Ergebnis der Operation
$ [mm] f_{1}(\bruch{p}{q},\bruch{r}{s})=\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s} [/mm] $
unabhängig von der Wahl der Repräsentanten aus den
jeweiligen Äquivalenzklassen ist (das heisst praktisch,
dass die Summe von zwei Brüchen nicht verändert
wird, wenn man vor oder nach dem Addieren kürzt
oder erweitert).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mi 28.10.2009 | | Autor: | IrisL. |
Vielen Dank. Die Äquivalenzrelation habe ich bereits nachgewiesen. Den Beweis, dass es sich dabei um eine Funktion handelt bekomme ich jetzt sicher hin. :)
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