matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisTeilmenge eines Banachraums
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionalanalysis" - Teilmenge eines Banachraums
Teilmenge eines Banachraums < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilmenge eines Banachraums: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Mi 25.04.2018
Autor: mathstu

Aufgabe
Sei X ein Banachraum und M [mm] \subset [/mm] X. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) M ist beschränkt.
b) sup{Ax: [mm] x\in [/mm] M} < [mm] \infty [/mm] für jedes A [mm] \in [/mm] X'.

Guten Abend,

Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich dimensionalen gilt.

Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in der VL:
Sei X ein [mm] \IK [/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm] X':=L(X,\IK) [/mm] den Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.

Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b) [/mm] wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von A geht.

M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm] \parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die richtige Herangehensweise ist.

Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis herangeht?

LG, mathstu

        
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mi 25.04.2018
Autor: fred97


> Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

X. Zeigen Sie die

> Äquivalenz folgender Aussagen:
>  a) M ist beschränkt.
>  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.

>  Guten Abend,
>  
> Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> dimensionalen gilt.
>  
> Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> der VL:
> Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  
> Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> A geht.
>  
> M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> richtige Herangehensweise ist.
>  
> Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> herangeht?

Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!

Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :

wir haben ||x || [mm] \le [/mm] K für  alle [mm] x\in [/mm] M.

Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist

$Ax [mm] \le [/mm] |Ax | [mm] \le [/mm] ||A|| [mm] \cdot [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] K ||A||$


>  
> LG, mathstu


Bezug
                
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Mi 25.04.2018
Autor: mathstu


> > Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und

> "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> X. Zeigen Sie die
> > Äquivalenz folgender Aussagen:
>  >  a) M ist beschränkt.
>  >  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer

> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.
>  >  Guten Abend,
>  >  
> > Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> > Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> > betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> > und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> > Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> > dimensionalen gilt.
>  >  
> > Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> > der VL:
> > Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> > Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  >  
> > Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> > wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> > A geht.
>  >  
> > M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> >  

> > Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> > Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> > Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> > überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> > deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> > Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> > richtige Herangehensweise ist.
>  >  
> > Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> > dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> > unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> > herangeht?
>  Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!
>  
> Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :
>  
> wir haben ||x || [mm]\le[/mm] K für  alle [mm]x\in[/mm] M.
>  
> Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist
>  
> [mm]Ax \le |Ax | \le ||A|| \cdot ||x|| \le K ||A||[/mm]
>  
>
> >  

> > LG, mathstu
>  

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Oh ja, stimmt.
Und [mm] K \parallel A \parallel [/mm] ist beschränkt nach Definition der Operatornorm und weil Beschränktheit und Stetigkeit in allen Punkten für lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen äquivalent sind. Diese Argumentation stimmt so, oder?

Kann es sein, dass die Rückrichtung auch relativ schnell folgt oder übersehe ich da etwas:
Es gilt mit Eins-Ergänzung und der Definition der Operatornorm
[mm] \parallel x\parallel = \bruch{\parallel A\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \parallel Ax\parallel \bruch{1}{\parallel A \parallel} < \infty [/mm], nach Voraussetzung b).
Hierzu habe ich aber noch eine Frage: könnte es nicht sein, dass das Funktional A die Nullabbildung ist? Weil dann müsste man diesen Fall noch gesondert betrachten.

LG, mathstu

Bezug
                        
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Do 26.04.2018
Autor: fred97


> > > Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und

> "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und
> > "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> > Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > X. Zeigen Sie die
> > > Äquivalenz folgender Aussagen:
>  >  >  a) M ist beschränkt.
>  >  >  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen

> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.
>  >  >  Guten Abend,
>  >  >  
> > > Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> > > Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> > > betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> > > und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> > > Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> > > dimensionalen gilt.
>  >  >  
> > > Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> > > der VL:
> > > Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> > > Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  >  >  
> > > Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> > > wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> > > A geht.
>  >  >  
> > > M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> > > Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> > > Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> > > überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> > > deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> > > Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> > > richtige Herangehensweise ist.
>  >  >  
> > > Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> > > dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> > > unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> > > herangeht?
>  >  Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!
>  >  
> > Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :
>  >  
> > wir haben ||x || [mm]\le[/mm] K für  alle [mm]x\in[/mm] M.
>  >  
> > Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist
>  >  
> > [mm]Ax \le |Ax | \le ||A|| \cdot ||x|| \le K ||A||[/mm]
>  >  
> >
> > >  

> > > LG, mathstu
> >  

>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  
> Oh ja, stimmt.
>  Und [mm]K \parallel A \parallel[/mm] ist beschränkt nach
> Definition der Operatornorm und weil Beschränktheit und
> Stetigkeit in allen Punkten für lineare Abbildungen
> zwischen normierten Vektorräumen äquivalent sind. Diese
> Argumentation stimmt so, oder?

Na ja. Besser: ein linearer Operator zwischen zwei normierten Räumen ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.


>  
> Kann es sein, dass die Rückrichtung auch relativ schnell
> folgt oder übersehe ich da etwas:
>  Es gilt mit Eins-Ergänzung und der Definition der
> Operatornorm
>  [mm]\parallel x\parallel = \bruch{\parallel A\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \parallel Ax\parallel \bruch{1}{\parallel A \parallel} < \infty [/mm],
> nach Voraussetzung b).

Nein, das ist Unsinn ! Du schreibst

[mm] \parallel x\parallel [/mm] = .....= [mm] sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} [/mm]


Das x links soll wohl aus M stammen, rechts steht ein Supremum über alle x [mm] \ne [/mm] 0, das ist Quark.



> Hierzu habe ich aber noch eine Frage: könnte es nicht
> sein, dass das Funktional A die Nullabbildung ist? Weil
> dann müsste man diesen Fall noch gesondert betrachten.

Zu b) [mm] \Rightarrow [/mm] a):  Hattet Ihr kürzlich in der Vorlesung das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ? Sicher !, denn ohne das gehts nicht.

Wir haben: ist A [mm] \in [/mm] X', so gibt es ein [mm] c_A \ge [/mm] 0 mit

    Ax [mm] \le c_A [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M.

Mit A ist auch -A [mm] \in [/mm] X', also ex.

    -Ax [mm] \le c_{-A} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M.

Fassen wir das zusammen, so gilt

    $- [mm] c_{-A} \le [/mm] Ax [mm] \le c_A$ [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] M.

Fazit: für jedes A [mm] \in [/mm] X' ist A(M) beschränkt.

Nun fassen wir M als Teilmenge des Biduals [mm] X^{''} [/mm] auf.  Damit haben wir: die Familie M stetiger linearer Funktionale auf X' ist punktweise beschränkt. Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sagt nun: M ist beschränkt.


>  
> LG, mathstu


Bezug
                                
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:49 Sa 28.04.2018
Autor: mathstu


> > > > Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und

> "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und
> > "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> > Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > Eingabefehler: "{" und
> > > "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> > > Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  >  
> > > X. Zeigen Sie die
> > > > Äquivalenz folgender Aussagen:
>  >  >  >  a) M ist beschränkt.
>  >  >  >  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen

> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> > immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  >  
> > > M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.
>  >  >  >  Guten Abend,
>  >  >  >  
> > > > Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> > > > Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> > > > betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> > > > und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> > > > Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> > > > dimensionalen gilt.
>  >  >  >  
> > > > Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> > > > der VL:
> > > > Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> > > > Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  >  >  >  
> > > > Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> > > > wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> > > > A geht.
>  >  >  >  
> > > > M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> > > > Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> > > > Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> > > > überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> > > > deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> > > > Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> > > > richtige Herangehensweise ist.
>  >  >  >  
> > > > Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> > > > dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> > > > unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> > > > herangeht?
>  >  >  Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!
>  >  >  
> > > Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :
>  >  >  
> > > wir haben ||x || [mm]\le[/mm] K für  alle [mm]x\in[/mm] M.
>  >  >  
> > > Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist
>  >  >  
> > > [mm]Ax \le |Ax | \le ||A|| \cdot ||x|| \le K ||A||[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > >  

> > > > LG, mathstu
> > >  

> >
> > Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  >  
> > Oh ja, stimmt.
>  >  Und [mm]K \parallel A \parallel[/mm] ist beschränkt nach
> > Definition der Operatornorm und weil Beschränktheit und
> > Stetigkeit in allen Punkten für lineare Abbildungen
> > zwischen normierten Vektorräumen äquivalent sind. Diese
> > Argumentation stimmt so, oder?
>  
> Na ja. Besser: ein linearer Operator zwischen zwei
> normierten Räumen ist genau dann stetig, wenn er
> beschränkt ist.
>  
>
> >  

> > Kann es sein, dass die Rückrichtung auch relativ schnell
> > folgt oder übersehe ich da etwas:
>  >  Es gilt mit Eins-Ergänzung und der Definition der
> > Operatornorm
>  >  [mm]\parallel x\parallel = \bruch{\parallel A\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \parallel Ax\parallel \bruch{1}{\parallel A \parallel} < \infty [/mm],
> > nach Voraussetzung b).
>
> Nein, das ist Unsinn ! Du schreibst
>  
> [mm]\parallel x\parallel[/mm] = .....= [mm]sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel}[/mm]
>  
>
> Das x links soll wohl aus M stammen, rechts steht ein
> Supremum über alle x [mm]\ne[/mm] 0, das ist Quark.
>  
>
>
> > Hierzu habe ich aber noch eine Frage: könnte es nicht
> > sein, dass das Funktional A die Nullabbildung ist? Weil
> > dann müsste man diesen Fall noch gesondert betrachten.
>  
> Zu b) [mm]\Rightarrow[/mm] a):  Hattet Ihr kürzlich in der
> Vorlesung das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ?
> Sicher !, denn ohne das gehts nicht.

Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit hatten wir bisher noch nicht in der VL. Ich habe mir das Prinzip durchgelesen und kann deinen Beweis nachvollziehen, aber da wir das Prinzip noch nicht hatten kann ich das leider auch nicht verwenden.
Gibt es keinen anderen Ansatz den man hier verwenden könnte? Ich habe mich gestern nochmal an die Aufgabe gesetzt, aber mir fällt einfach nicht ein wie man hier geschickt vorgehen soll.

> Wir haben: ist A [mm]\in[/mm] X', so gibt es ein [mm]c_A \ge[/mm] 0 mit
>  
> Ax [mm]\le c_A[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] M.
>  
> Mit A ist auch -A [mm]\in[/mm] X', also ex.
>  
> -Ax [mm]\le c_{-A}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] M.
>  
> Fassen wir das zusammen, so gilt
>  
> [mm]- c_{-A} \le Ax \le c_A[/mm]  für alle x [mm]\in[/mm] M.
>  
> Fazit: für jedes A [mm]\in[/mm] X' ist A(M) beschränkt.
>  
> Nun fassen wir M als Teilmenge des Biduals [mm]X^{''}[/mm] auf.  
> Damit haben wir: die Familie M stetiger linearer
> Funktionale auf X' ist punktweise beschränkt. Das Prinzip
> der gleichmäßigen Beschränktheit sagt nun: M ist
> beschränkt.
>  
>
> >  

> > LG, mathstu
>  

LG, mathstu

Bezug
                                        
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mi 02.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 5h 20m 11. Takota
DiffGlGew/Globaler Existenzsatz
Status vor 6h 41m 1. homerq
SVektoren/Raumwinkel errechnen
Status vor 10h 24m 6. leduart
DiffGlGew/Loesung DGL
Status vor 17h 42m 3. fred97
S8-10/Rationalisieren des Nenners
Status vor 1d 13h 40m 6. HJKweseleit
UNum/Skizzieren einer Menge
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]