Teilmenge nicht zs.hängend < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 26.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm] M:=\{\vektor{x\\y} \in \IR^2 | \parallel \vektor{x\\y} \parallel_2 \not=1 \} [/mm] von [mm] (\IR^2,d_2) [/mm] nicht zusammenhängend ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ist meine Idee richtig:
Sei [mm] M_1:\{ \vektor{0\\0} \}[/mm]
Sei [mm] M_2:\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 \backslash \{\vektor{0\\0},\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\}[/mm]
?
..oder was habe ich ansonsten falsch gemacht ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 So 26.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm]M:=\{\vektor{x\\y} \in \IR^2 | \parallel \vektor{x\\y} \parallel_2 \not=1 \}[/mm]
> von [mm](\IR^2,d_2)[/mm] nicht zusammenhängend ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ist meine Idee richtig:
> Sei [mm]M_1:\{ \vektor{0\\0} \}[/mm]
> Sei [mm]M_2:\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 \backslash \{\vektor{0\\0},\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\}[/mm]
> ?
> ..oder was habe ich ansonsten falsch gemacht ?
Nein, deine Vorstellung von der Menge M ist falsch. Es geht doch um alle Punkte im [mm] $\IR^2$, [/mm] deren Norm nicht 1 ist. Folglich ist diese Menge gerade der [mm] $\IR^2$, [/mm] aus dem du alle Punkte mit Norm 1 herausnimmst.
So, und was sind alle Punkte mit Norm 1? Welche Punkte des [mm] $\IR^2$ [/mm] haben den Abstand 1 vom Ursprung? Wenn du dir das vorstellen kannst, siehst du auch, warum die Menge M nicht zusammenhängend ist. (Und die Vorstellung ist der halbe Weg zum Beweis.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 26.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
> Nein, deine Vorstellung von der Menge M ist falsch. Es geht
> doch um alle Punkte im [mm]\IR^2[/mm], deren Norm nicht 1 ist.
> Folglich ist diese Menge gerade der [mm]\IR^2[/mm], aus dem du alle
> Punkte mit Norm 1 herausnimmst.
>
> So, und was sind alle Punkte mit Norm 1? Welche Punkte des
> [mm]\IR^2[/mm] haben den Abstand 1 vom Ursprung? Wenn du dir das
> vorstellen kannst, siehst du auch, warum die Menge M nicht
> zusammenhängend ist. (Und die Vorstellung ist der halbe Weg
> zum Beweis.)
Achso, das ist dann der Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt.
Die zwei Mengen sind die, die innerhalb und außerhalb des Kreises liegen und der Kreis gehört nicht dazu.
Stimmt das jetzt ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 26.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Achso, das ist dann der Kreis mit Radius 1 um den
> Nullpunkt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zwei Mengen sind die, die innerhalb und außerhalb des
> Kreises liegen und der Kreis gehört nicht dazu.
>
> Stimmt das jetzt ?
Ja, das ist richtig.
Anschaulich ist es ja klar. Formal musst du dir noch überlegen, dass M aus zwei disjunkten offenen Teilmengen besteht.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 So 26.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Ok, vielen Dank und liebe Grüsse, Susanne.
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