Teilmenge und Element < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 16.01.2011 | | Autor: | sirco |
| Aufgabe | Gegeben ist die Menge A={ 3, {5,6} , [mm] \emptyset [/mm] }. Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch?
a) 6 [mm] \in [/mm] A
b) {5,6} [mm] \subset [/mm] A
c) {3} [mm] \in [/mm] A
d) {3} [mm] \subset [/mm] A
e) 3 [mm] \in [/mm] A
f) 3 [mm] \subset [/mm] A
g) [mm] \emptyset \subset [/mm] A
h) { [mm] \emptyset [/mm] } [mm] \subset [/mm] A
i) [mm] \emptyset \in [/mm] A
j) { [mm] \emptyset [/mm] } [mm] \in [/mm] A |
Hallo zusammen,
ich habe vor kurzem erst mit meinem Studium begonnen und komme schon jetzt mit einer Aufgabe nicht zurecht :(
Mir ist vorallem im entsprechenden Beispiel der Unterschied zwischen den Zahlen mit bzw. ohne {} und der Unterschied zwischen Teilmenge und Element nicht ganz klar.
Deshalb komm ich auch nie auf eine eindeutige Lösung.
Ist es richtig wenn ich folgendes sage:
A besteht aus 3 Elementen: {3}, {5,6}, {0} (ob mit oder ohne {} sei mal dahin gestellt)
A besteht aus 8 Teilmengen: leere Menge, {3}, {5,6}, {0}, {3,5,6}, {3,0}, {5,6,0}, {3,5,6,0}
Oder schmeiße ich dann alles durcheinander (was mir leider häufiger passiert :( )
Wenn also z.B. die Zahl 3 Element von A ist, welche Schreibweise wäre dann korrekt: c) oder d)
Ich hoffe ihr könnt mir etwas Licht im Dunklen verpassen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo sirco
Am Anfang des Mathestudiums hat fast jeder Schwierigkeiten. Das legt sich aber mit der Zeit. Also frag einfach hin und wieder, wenn dir was unklar ist. Mir hat das schon sehr geholfen.
Nun zur Aufgabe:
Wichtig ist, dass du dir merkst, dass die Klammern {} Mengen einschließen. Das heißt: Wenn du {5} oder {2,3} oder irgendwas in solchen Klammern siehst, dann handelt es sich um eine Menge.
[mm] \subset [/mm] . Das Symbol deutet an, dass links davon eine Menge steht, welche eine Teilmenge von der Menge rechts davon ist. Es ist an einem Beispiel anschaulicher:
Wäre eine Menge {2,3} // Mengenklammern, deswegen eine Menge mit zwei Elementen
Eine andere Menge wäre nun {2} // hat ein Element
Jetzt gilt {2} [mm] \subset [/mm] {2,3}, da die rechte Menge auch die 2 enthält. Die linke Menge ist somit ein Teil (man sagt Teilmenge) der rechten.
[mm] \in [/mm] heißt, dass es ein Element von irgendeiner Menge ist. Wenn da also steht: 5 [mm] \in [/mm] A, dann ist 5 ein Element der Menge A, also gilt: A={5}
A könnte natürlich auch noch mehrere Elemente haben.
Die Menge ist hier A = {3, {5,6}, [mm] \emptyset [/mm] }
Nun zur a:
Da steht 6 [mm] \in [/mm] A.
Das kann man nicht sagen, denn 6 ist kein Element von A. In A gibt es nur eine weitere Menge, nämlich {5,6} und DIE enthält die 6. A selbst besitzt aber nur diese Menge.
Nun zur b:
Da steht {5,6} [mm] \subset [/mm] A
Das stimmt auch nicht. Versuch mal herauszufinden, warum. Wenn du nicht drauf kommst, frag einfach nochmal nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 16.01.2011 | | Autor: | sirco |
Hey SolRakt,
vielen Dank für die rasche Antwort. Ich hoffe, du behältst Recht mit dem "Das legt sich mit der Zeit" ;)
Also bei Zahlen in den geschweiften Klammern {} handelt es sich immer um Mengen. Und wenn ich in diesem Fall die Klammern weg lasse, handelt es sich um Elemente? Habe ich das richtig verstanden?
Aufgabe a) habe ich glaub ich verstanden. Die 6 ist nur ein Teil des Elements {5,6} und da sie nicht "alleine" vorkommt sondern nur als {5,6} ist diese Aussage falsch.
Aufgabe b) ist falsch, wie du sagst. Liegt das evtl. daran, dass wir uns hier das Element {5,6} ansehen, und ein Element niemals eine Teilmenge sein kann? Wobei mir da der Zusammenhang noch nicht 100% klar ist. Richtig wäre die Aussage wohl nur wenn da stehen würde {{5,6}} [mm] \subset [/mm] A Weil das bedeuten würde, dass wir von der Menge {5,6} sprechen die Teilmenge von A ist.
Anhand meiner o.g. Annahme müsste c) falsch sein da es sich bei {3} nicht um ein Element sondern eine Teilmenge handelt, und damit e) korrekt sein müßte. d) müßte dann wahr sein und f) falsch.
Also
c) falsch
d) wahr
e) wahr
f) falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Nochmal die Menge: A={3, {5,6}, [mm] \emptyset [/mm] }
Du hast das schon sehr gut verstanden. Die Teile IN den Klammern { } bezeichnen die Elemente einer Menge.
Bei der Menge A sind also 3, {5,6}, [mm] \emptyset [/mm] Elemente, wobei {,6} wiederum eine Menge ist.
Bei der a) hast du richtig erkannt, dass die 6 NICHT das Element von A ist, sondern von {5,6}
> Aufgabe b) ist falsch, wie du sagst. Liegt das evtl. daran, dass wir uns
> hier das Element {5,6} ansehen, und ein Element niemals eine
> Teilmenge sein kann? Wobei mir da der Zusammenhang noch nicht
> 100% klar ist. Richtig wäre die Aussage wohl nur wenn da stehen
> würde{{5,6}} $ [mm] \subset [/mm] $ A Weil das bedeuten würde, dass wir von
> der Menge {5,6}
> sprechen die Teilmenge von A ist.
Perfekt ;) {5,6} ist ein Element von A und es kann somit keine Teilmenge sein. Korrekt wäre wirklich {{5,6}}. Also, deine Vermutung war absolut korrekt.
Warte, ich schau mir die c) ... nochmal an.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Zur c)
Da steht {3} [mm] \in [/mm] A
Du hast recht. {3} ist ein Menge und das ist kein Element von A. Wenn
A = {{3}, {5,6}, [mm] \emptyset [/mm] } gelten würde, dann könnte man das jedoch sagen.
Zur d)
Da steht {3} [mm] \subset [/mm] A
Das stimmt. 3 ist Element von A und somit {3} eine Teilmenge von A. Diese Aussage stimmt also.
Zur e)
Da steht 3 [mm] \in [/mm] A
Richtig. Das stimmt auch. 3 ist schließlich Element von A.
Zur f)
Da steht 3 [mm] \subset [/mm] A
3 ist ein Element, aber keine Menge und kann deshalb keine Teilmenge sein.
Und wie siehts mit g) ... aus? Lass dich von der leeren Menge nicht beirren. Das ist die einzige Menge, wo man keine Klammern {} schreiben muss. [mm] \emptyset [/mm] ist also eine Menge. Und nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 16.01.2011 | | Autor: | sirco |
Hey.
Besten Dank für die super Erklärung :)
Ich versuch mich dann mal an g) bis j)
In diesem Beispiel gibt es auf jeden Fall schoneinmal das Element [mm] \emptyset [/mm] .
Wenn ich jetzt wieder davon ausgehe, dass es keine Teilmenge geben kann, wenn die Zahl schon als Element vorkommt (Hier also [mm] \emptyset [/mm] ) dann müßten g) und h) auf jeden fall schonmal falsch sein.
Wenn wir bei der leeren Menge auf die zusätzlichen {} verzichten, dann müßte auch j) falsch sein. Somit bleibt einzig i) als wahre Aussage stehen.
g) [mm] \emptyset \subset [/mm] A
falsch
h) { [mm] \emptyset [/mm] } [mm] \subset [/mm] A
falsch
i) [mm] \emptyset \in [/mm] A
wahr
j) { [mm] \emptyset [/mm] } [mm] \in [/mm] A
falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Also, 100% bin ich mir jetzt auch nicht sicher.
Bei [mm] \emptyset [/mm] musst du aber auspassen. Denn da werden die Mengenklammern weggelassen. Also bezeichnet [mm] \emptyset [/mm] eine Menge, auch wenn die Klammern fehlen. Diese Menge hat kein Element.
Deswegen sollte die g) eigentlich gehn, denn die Menge [mm] \emptyset [/mm] könnte ja Teilmenge von A sein.
Die h) sollte auch gehn, da [mm] {\emptyset} [/mm] auch eine Teilmenge von A ist.
Denn das ist die Menge (nichtleer) mit dem Element [mm] \emptyset. [/mm] Das ist ein Unterschied. Ist dir der klar?
EDIT: Ich habs blöd formuliert. Bei { [mm] \emptyset [/mm] } könnte man [mm] \emptyset [/mm] auch als Element verstehn und das ist auch in A drin. Deswegen geht die h).
Bei der i) bin ich mir auch nicht sicher. Aber ich würde auch zu wahr tendieren.
Die j ist klar. Eine Menge kann kein Element sein.
Ich bitte auch um die Korrektur von anderen, falls doch mal was falsch ist. Aber es sollte stimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 So 16.01.2011 | | Autor: | sirco |
> Deswegen sollte die g) eigentlich gehn, denn die Menge
> [mm]\emptyset[/mm] könnte ja Teilmenge von A sein.
Das habe ich glaube ich nicht richtig verstanden :(
Klar h) muss ja wahr sein. Ist ja im Prinzip nichts anderes als die Aufgabe d) Also muss hier { [mm] \emptyset [/mm] } auch Teilmenge von A sein.
Ist die leere Menge immer Teilmenge einer Menge?
h) und i) sind also wahr. j) ist falsch. g) ist mir noch nicht 100 pro klar geworden :/
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Hallo,
betrachten wir die Aussage g) [mm] \emptyset\subseteq [/mm] A.
Wann sind zwei Mengen Teilmengen voneinander, also etwa [mm] X\subseteq [/mm] Y?
Wenn jedes Element von X auch Element von Y ist.
Und dies ist in Aussage g) klar der Fall.
Oder siehst Du ein Element, welches in [mm] \emptyset [/mm] ist, aber nicht in A?
Egal, welche Menge Du hast: die leere Menge ist immer eine Teilmeng von ihr.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Mo 17.01.2011 | | Autor: | sirco |
Diese Aufgabe lässt mich einfach nicht los. Ich bin noch nicht 100% aufgeklärt.
Wodrin unterscheidet sich denn dann die Schreibweise { [mm] \emptyset [/mm] } bzw [mm] \emptyset [/mm] ? So wie ich das nun verstehe, ist es egal, ob man die Klammer schreibt oder nicht, da g) bis j) ja korrekt sein soll?!
Ich glaube ich bin nun verwirrter als gestern Abend noch :(
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> Wodrin unterscheidet sich denn dann die Schreibweise [mm] \{\emptyset \}bzw[/mm] [mm]\emptyset[/mm] ? So wie ich das nun verstehe,
> ist es egal, ob man die Klammer schreibt oder nicht, da g)
> bis j) ja korrekt sein soll?!
>
> Ich glaube ich bin nun verwirrter als gestern Abend noch :(
Hallo,
[mm] \emptyset [/mm] ist eine Menge, welche kein Element enthält, eben die leere Menge.
[mm] \{\emptyset\} [/mm] ist eine Menge, welche ein Element enthält, nämlich das Element [mm] \emptyset.
[/mm]
Daß das in der Menge enthaltene Element selbst eine Menge ist, muß einen nicht weiter beirren. Im Mengen kann man sammeln, was man möchte: Altpapier, Zahlen, Buchstaben, Türklinken, gepunktete Hunde, Mengen von Funktionen usw.
Die Menge [mm] \{\IN, \IR\} [/mm] ist eine Menge, welche zwei Elemente enthält.
Schauen wir die Aufgabe nochmal an:
Wir haben die Menge [mm] A=\{ 3, \{5,6\} , \emptyset \}. [/mm]
Diese Menge enthält drei Elemente, nämlich das Element 3, das Element [mm] \{5,6\} [/mm] und das Element [mm] \emptyset.
[/mm]
g) [mm] \emptyset \subset [/mm] A
Diese Aussage hat absolut nichts damit zu tun, daß zufälligerweise die Menge [mm] \emptyset [/mm] ein Element der Menge A ist.
Wie mehrfach erwähnt ist aufgrund der Definition von "Teilmenge" die leere Menge eine Teilmenge einer jeden Menge.
Es ist also auch [mm] \emptyset \subseteq \{1,2, 3\}, [/mm] denn jedes Element aus [mm] \emptyset [/mm] ist auch in [mm] \{1,2, 3\}.
[/mm]
h) [mm] \{ \emptyset \}[/mm] [mm] \subset [/mm] A
Ist jedes Element von [mm] \{\emptyset\} [/mm] in A enthalten?
In [mm] \{\emptyset\} [/mm] gibt es nur ein Element, nämlich das Element [mm] \emptyset, [/mm] und dieses ist auch ein Element von A.
Also ist die Aussage wahr.
i) [mm] \emptyset \in [/mm] A
Offensichtlich ist das der Fall.
j) [mm] \{\emptyset \}[/mm] [mm] \in [/mm] A
Das ist falsch. Wenn die Aussage richtig wäre, käme [mm] \{\emptyset\} [/mm] bei der Aufzählung der Elemente vor.
In der vierelementigen Menge [mm] B=\{ 12, \{1,2,3,4\}, \{\emptyset\}, \IN\} [/mm] würde gelten
[mm] \{\emptyset\}\in [/mm] B.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mo 17.01.2011 | | Autor: | sirco |
Hey, hey.
Ich kanns kaum glauben aber ich glaube ich habe es verstanden :)
Vielen, vielen Dank für eure sehr guten Erklärungen. Ihr habt mir wirklich sehr geholfen. Ich glaube ich werde euch nun in Zukunft öfter mit meinen Fragen in die Verwirrung treiben 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Sigma |
> Also, 100% bin ich mir jetzt auch nicht sicher.
>
> Bei [mm]\emptyset[/mm] musst du aber auspassen. Denn da werden die
> Mengenklammern weggelassen. Also bezeichnet [mm]\emptyset[/mm] eine
> Menge, auch wenn die Klammern fehlen. Diese Menge hat kein
> Element.
>
> Deswegen sollte die g) eigentlich gehn, denn die Menge
> [mm]\emptyset[/mm] könnte ja Teilmenge von A sein.
Nicht könnte. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
> Die j ist klar. Eine Menge kann kein Element sein.
Bist du dir sicher? die leere Menge ist doch in diesem Fall Element von A. [mm] $\emptyset \in [/mm] A$ Und auch [mm] $\{5,6\} \in [/mm] A$
>
> Ich bitte auch um die Korrektur von anderen, falls doch mal
> was falsch ist. Aber es sollte stimmen.
>
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