Teilmengen der komplexen Ebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen der komplexen Ebene.
i) A= z[mm]\in \IC[/mm] mit [mm]\left| z \right| \le 2[/mm]
ii) B= z[mm]\in\IC[/mm] mit [mm]-1 \le z \le 1[/mm]
iii)C= z[mm]\in\IC[/mm] mit [mm]z+\bar{z}=1[/mm]
iv) D= z =[mm]re^{i\varphi}\in\IC[/mm] mit [mm]0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{4}, r \ge 1[/mm]
v) E= [mm]z^{-1} mit z\in D[/mm] |
Hallo zusammen!
Meine erste Frage hat nun doch eine ganze Zeit gedauert.
Irmchen sei Dank.
Ich tue mich momentan etwas schwer mit Teilaufgabe v)
Teilmenge D hab ich eingeschlossen zwischen der x-Achse und der Winkelhalbierenden, OHNE den Bereich des Einheitskreises.
Nur hab ich keine Ahnung wie ich mir [mm]z^{-1}[/mm]vorstellen muss. Ich weis [mm]z^{-1} = \bruch{\bar{z}}{\left| z \right|^{2}}[/mm]
Aber wie muss ich mir die Fläche Vorstellen? Ich vermute gespiegelt im Nullpunkt und dann eingeschränkt?
Mit der Bitte um Hilfe
Chris
|
|
| |
|
Hallo dragonflyer!
> Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen der komplexen
> Ebene.
> i) A= z[mm]\in \IC[/mm] mit [mm]\left| z \right| \le 2[/mm]
> ii) B= z[mm]\in\IC[/mm]
> mit [mm]-1 \le z \le 1[/mm]
> iii)C= z[mm]\in\IC[/mm] mit [mm]z+\bar{z}=1[/mm]
> iv) D= z =[mm]re^{i\varphi}\in\IC[/mm] mit [mm]0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{4}, r \ge 1[/mm]
>
> v) E= [mm]z^{-1} mit z\in D[/mm]
> Hallo zusammen!
> Meine erste Frage hat nun doch eine ganze Zeit gedauert.
> Irmchen sei Dank.
> Ich tue mich momentan etwas schwer mit Teilaufgabe v)
> Teilmenge D hab ich eingeschlossen zwischen der x-Achse
> und der Winkelhalbierenden, OHNE den Bereich des
> Einheitskreises.
> Nur hab ich keine Ahnung wie ich mir [mm]z^{-1}[/mm]vorstellen
> muss. Ich weis [mm]z^{-1} = \bruch{\bar{z}}{\left| z \right|^{2}}[/mm]
Also, wenn ich mich nicht täusche, dann gilt doch [mm] re^{i\varphi}*r'e^{i\varphi'}=1=1*e^{i*0} [/mm] für das multiplikativ Inverse für die Elemente aus D. Außerdem gilt: [mm] re^{i\varphi}*r'e^{i\varphi'}=rr'e^{i(\varphi+\varphi')}, [/mm] also muss gelten: [mm] r'=\frac{1}{r} [/mm] und [mm] \varphi'=\varphi. [/mm] Hilft dir das?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hallo Bastian.
Ich gehe mal davon aus, dass das was Du geschrieben hast stimmt ;) Unter den Voraussetzungen aus Aufgabenbereich iv) dürfte sich somit am Winkel 45° nichts verändern. Aber der Radius wäre dann nicht mehr [mm]r \ge 1[/mm] sondern [mm] r < 1 [/mm] oder bin ich da wieder auf dem Holzweg?
Schöne Grüße
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 So 20.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Chris!
> Ich gehe mal davon aus, dass das was Du geschrieben hast
> stimmt ;) Unter den Voraussetzungen aus Aufgabenbereich iv)
> dürfte sich somit am Winkel 45° nichts verändern. Aber der
> Radius wäre dann nicht mehr [mm]r \ge 1[/mm] sondern [mm]r < 1[/mm] oder bin
> ich da wieder auf dem Holzweg?
Bastiane hat sich ein wenig vertan: [mm] $r'=\bruch{1}{r}$ [/mm] stimmt, aber aus [mm] $e^{i(\varphi+\varphi')}=1$ [/mm] folgt [mm] $\varphi' [/mm] = [mm] 2\pi-\varphi$. [/mm] Das Gebiet liegt also unter- statt oberhalb der reellen Achse. Das siehst du auch an der Formel [mm] $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$: [/mm] der Imaginärteil wechselt das Vorzeichen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hi!
Es hat zwar etwas länger gedauert, aber auch so lange nach der letzten Antwort möchte ich mich herzlich für die Hilfe bedanken.
Schöne Grüße
Chris
|
|
|
|
