Teilmengen und Potenzmengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:39 Do 18.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Falls M [mm] \subset [/mm] N, so ist auch Pot(M) [mm] \subset [/mm] Pot(N) |
Hallo zusammen,
meine erste Grundlagen-Hausaufgabe muss gleich abgegeben werden und mir fehlen noch drei Teilaufgaben, hier ist eine davon. Über schnelle Hilfe wäre ich sehr sehr glücklich...
mein eigener Ansatz ist recht mager: ich weiß dass eine Potenzmenge die Menge aller Teilmengen ist. Wenn ich mir ein Bsp ausdenke, zB M={1} und N={1,2}, dann ist es klar dass die Aussage stimmt. Aber wie beweise ich das???
LG, Sarah
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Do 18.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Pot(M [mm] \cap [/mm] N) = Pot(M) [mm] \cap [/mm] Pot(N) |
und hier kommt direkt das zweite Problem :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie: Pot(M [mm]\cap[/mm] N) = Pot(M) [mm]\cap[/mm] Pot(N)
> und hier kommt direkt das zweite Problem :)
Sei A [mm] \in [/mm] Pot(M [mm]\cap[/mm] N). Dann ist A Teilmenge von M [mm]\cap[/mm] N, also ist A Teilmenge von M und von N ...
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Do 18.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> > Beweisen Sie: Pot(M [mm]\cap[/mm] N) = Pot(M) [mm]\cap[/mm] Pot(N)
> > und hier kommt direkt das zweite Problem :)
>
> Sei A [mm]\in[/mm] Pot(M [mm]\cap[/mm] N). Dann ist A Teilmenge von M [mm]\cap[/mm]
> N, also ist A Teilmenge von M und von N ...
>
> FRED
>
.... und da M [mm] \subset [/mm] Pot(M) ist, gilt:
A [mm] \subset [/mm] M [mm] \subset [/mm] Pot(M) [mm] \rightarrow [/mm] (wg. Transitivität) A [mm] \subset [/mm] Pot(M)
analog für A [mm] \subset [/mm] Pot(N)
da A [mm] \subset [/mm] Pot(M) und Pot(N) ist A auch [mm] \in [/mm] Pot(M) und Pot(N)...
und wie ist mein "schlusssatz", beweist das jetzt die aussage? reicht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Do 18.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Studi_AC,
wirf [mm] $\in$ [/mm] und [mm] $\subset$ [/mm] nicht durcheinander!
> > > Beweisen Sie: Pot(M [mm]\cap[/mm] N) = Pot(M) [mm]\cap[/mm] Pot(N)
> >
> > Sei A [mm]\in[/mm] Pot(M [mm]\cap[/mm] N). Dann ist A Teilmenge von M [mm]\cap[/mm]
> > N, also ist A Teilmenge von M und von N ...
>
> .... und da M [mm]\subset[/mm] Pot(M) ist, gilt:
Nein, [mm] $M\subset\operatorname{Pot}(M)$ [/mm] gilt i.A. nicht.
(Betrachte etwa die Menge [mm] $M:=\IN$ [/mm] der natürlichen Zahlen. Dann ist [mm] $1\in [/mm] M$, aber nicht [mm] $1\in\operatorname{Pot}(\IN)$ [/mm] (da 1 keine Menge und somit auch keine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] ist). Also gilt [mm] $M\subset\operatorname{Pot}(M)$ [/mm] NICHT.)
> A [mm]\subset[/mm] M [mm]\subset[/mm] Pot(M) [mm]\rightarrow[/mm] (wg.
> Transitivität) A [mm]\subset[/mm] Pot(M)
> analog für A [mm]\subset[/mm] Pot(N)
Folgerichtig.
> da A [mm]\subset[/mm] Pot(M) und Pot(N) ist A auch [mm]\in[/mm] Pot(M) und
> Pot(N)...
Quatsch. Warum soll aus [mm] $A\subset\operatorname{Pot}(M)$ [/mm] die Aussage [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M)$ [/mm] folgen?
Du willst [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M)$ [/mm] zeigen [mm] ($A\in\operatorname{Pot}(N)$ [/mm] geht dann in der Tat analog).
Wie ist denn [mm] $\operatorname{Pot}(M)$ [/mm] definiert?
> und wie ist mein "schlusssatz", beweist das jetzt die
> aussage? reicht das so?
WENN du [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M)$ [/mm] und [mm] $A\in\operatorname{Pot}(N)$ [/mm] gezeigt hast, folgt [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M)\cap\operatorname{Pot}(N)$.
[/mm]
Du hast dann also für beliebig vorgegebenes [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M\cap [/mm] N)$ gezeigt, dass [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M)\cap\operatorname{Pot}(N)$ [/mm] folgt.
Also gilt für ALLE [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M\cap [/mm] N)$ die Aussage [mm] $A\in\operatorname{Pot}(M)\cap\operatorname{Pot}(N)$.
[/mm]
D.h.:
[mm] $\operatorname{Pot}(M\cap N)\subset\operatorname{Pot}(M)\cap\operatorname{Pot}(N)$.
[/mm]
Dann ist noch
[mm] $\operatorname{Pot}(M\cap N)\supset\operatorname{Pot}(M)\cap\operatorname{Pot}(N)$
[/mm]
zu zeigen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Do 18.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
Dankeschön, ich nimm das jetzt mit zur Uni und versuchs da nochmal es zu verstehen... ich hoffe ich schaffs bis zum Ende...
Danke für deine Zeit, Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie: Falls M [mm]\subset[/mm] N, so ist auch Pot(M) [mm]\subset[/mm]
> Pot(N)
> Hallo zusammen,
>
> meine erste Grundlagen-Hausaufgabe muss gleich abgegeben
> werden und mir fehlen noch drei Teilaufgaben, hier ist eine
> davon. Über schnelle Hilfe wäre ich sehr sehr
> glücklich...
>
> mein eigener Ansatz ist recht mager: ich weiß dass eine
> Potenzmenge die Menge aller Teilmengen ist. Wenn ich mir
> ein Bsp ausdenke, zB M={1} und N={1,2}, dann ist es klar
> dass die Aussage stimmt. Aber wie beweise ich das???
Sei A [mm] \in [/mm] Pot(M). D.h.: A ist Teilmenge von M.
Zeigen mußt Du: A ist Teilmenge von M.
Warum ist das so ?
FRED
>
> LG, Sarah
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 18.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
> Sei A [mm]\in[/mm] Pot(M). D.h.: A ist Teilmenge von M.
>
> Zeigen mußt Du: A ist Teilmenge von M.
>
> Warum ist das so ?
>
> FRED
>
> >
> > LG, Sarah
>
also nochmal, sei A Element Pot(M). Da M [mm] \subset [/mm] Pot(M) ist auch [mm] A\supseteq [/mm] Pot(M), also ist A Element Pot(M)
.. das war dein erster Schritt, stimmts?
jetzt weiß ich M [mm] \in [/mm] Pot(M) und A [mm] \in [/mm] Pot(M)... und weiter???
manno, ich komm mir blöd vor, das kann doch nicht so schwer sein, sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
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> > Sei A [mm]\in[/mm] Pot(M). D.h.: A ist Teilmenge von M.
> >
> > Zeigen mußt Du: A ist Teilmenge von M.
> >
> > Warum ist das so ?
> >
> > FRED
> >
> > >
> > > LG, Sarah
> >
> also nochmal, sei A Element Pot(M). Da M [mm]\subset[/mm] Pot(M) ist
nein. Es ist M [mm] \in [/mm] Pot(M)
> auch [mm]A\supseteq[/mm] Pot(M), also ist A Element Pot(M)
> .. das war dein erster Schritt, stimmts?
nein. Das ist Unfug !
>
> jetzt weiß ich M [mm]\in[/mm] Pot(M) und A [mm]\in[/mm] Pot(M)... und
> weiter???
>
> manno, ich komm mir blöd vor, das kann doch nicht so
> schwer sein, sorry
Wir haben A [mm] \in [/mm] Pot(M), also A [mm] \subseteq [/mm] M. Weil M eine Teilmenge von N ist, haben wir auch A [mm] \subseteq [/mm] N, also A [mm] \in [/mm] Pot(N).
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 18.04.2013 | | Autor: | Studi_AC |
Vielen Dank für die ausführliche Hilfe... !!
Ich hoffe ich kriegs später noch komplett hin... muss erstmal weg
(ups... sorry, dass sollte keine Frage sein und demnach nicht "rot"... kann ich das ändern??)
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