Teilmengen untersuchen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:35 Sa 25.04.2015 | | Autor: | checky |
Könnte mir jemand helfen die Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] zu untersuchen. Dabei sind folgende Kriterien zu beachten.
-offen, abgeschlossen, beschränkt
- innere Punkte, Randpunkte, Berührungspunkte, Häufungspunkte und isolierte Punkte
1. {(x,y):3x-5y=7}
3. [mm] \IR [/mm] x [mm] \IZ
[/mm]
Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wie man diese Mengen untersucht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 25.04.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Als erstes solltest Du die Definitionen der Begriffe mitteilen. Einerseits, um auf eventuelle Besonderheiten in der Notation Deines Professors eingehen zu koennen, andererseits, damit Du Dich gedanklich mit dem Stoff beschaeftigst.
Ich untersuche beispielhaft, ob die Teilmenge $X:= [mm] \{(x,y)\in \IR^{2}|x^{2}+y^{2}=1\}$ [/mm] des [mm] $\IR^{2}$ [/mm] offen ist.
$X$ ist offen, wenn es fuer alle [mm] $(x,y)\in [/mm] X$ eine offene Kugel [mm] $B_{r}(x,y)$ [/mm] um $(x,y)$ mit Radius $r>0$ gibt, sodass [mm] $B_{r}(x,y)\subseteq [/mm] X$ gilt.
Meine Vermutung ist, dass die Menge nicht offen ist. Ich kann sie mir z.B. als Kreislinie vorstellen und die Kreislinie enthaelt keine Kreisscheibe: beachte, dass eine Kugel des [mm] $\IR^{2}$ [/mm] anschaulich eine Kreisscheibe ist.
Also muss ich ein Gegenbeispiel angeben. Sei etwa $a:= [mm] (1,0)\in [/mm] X$ und $r>0$ beliebig. Man muss nun zeigen, dass nicht [mm] $B_{r}(a)\subseteq [/mm] X$ gilt. Anders gesagt, kann man zeigen, dass es stets ein [mm] $b\in B_{r}(a)$ [/mm] gibt, welches nicht in $X$ liegt.
Wie man dieses $b$ finden koennte, haengt natuerlich stark von $X$ ab. Hier mache ich es so: Ich definiere $b:= [mm] (1+\frac{r}{2},0)$ [/mm] und zeige, dass [mm] $b\in B_{r}(a)$ [/mm] und [mm] $b\not \in [/mm] X$.
Der Abstand von $b$ zu $a=(1,0)$ ist genau [mm] $=\frac{r}{2}$. [/mm] Daher ist schon einmal [mm] $b\in B_{r}(a)$. [/mm] Wegen [mm] $(1+\frac{r}{2})^{2}+0^{2}= 1+r+\frac{r^{2}}{4}$ [/mm] und $r>0$, folgt, dass [mm] $(1+\frac{r}{2})^{2}+0^{2}> [/mm] 1$ gilt. Also ist [mm] $b\not \in [/mm] X$.
Weil $r$ beliebig war, gibt es in jeder Umgebung des Punktes $a=(1,0)$ einen Punkt, der nicht in $X$ enthalten ist. Daher ist $X$ nicht offen.
Wenn ich genau diese Eigenschaft sogar fuer jedes [mm] $a\in [/mm] X$ nachweisen koennte, dann wuesste man auch, dass $X$ keine inneren Punkte hat (wie es die Anschauung nahelegt).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:28 Sa 25.04.2015 | | Autor: | checky |
1.a ist Häufungspunkt von, wenn jede Umgebung von a einen von a verschiedenen weiteren Punkt aus M enthält.
2. a ist isolierter Punkt von M, wenn jese Umgebung von a mit M einen nichtleeren DUrchschnitt hat.
3. a ist innnerer Punkt von M wenn eine offene Menge V [mm] \subset [/mm] X existiert, für die M [mm] \cap [/mm] v = {a} gilt.
4. a ist ein Berührungspunkt von M , wenn [mm] X\M [/mm] eine Umgebung von a ist .
5. a ist Ranpunkt von M , wenn weder M noch [mm] X\M [/mm] eine Umgebung von a ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1.a ist Häufungspunkt von, wenn jede Umgebung von a einen
> von a verschiedenen weiteren Punkt aus M enthält.
> 2. a ist isolierter Punkt von M, wenn jese Umgebung von a
> mit M einen nichtleeren DUrchschnitt hat.
> 3. a ist innnerer Punkt von M wenn eine offene Menge V
> [mm]\subset[/mm] X existiert, für die M [mm]\cap[/mm] v = {a} gilt.
> 4. a ist ein Berührungspunkt von M , wenn [mm]X\M[/mm] eine
> Umgebung von a ist .
> 5. a ist Ranpunkt von M , wenn weder M noch [mm]X\M[/mm] eine
> Umgebung von a ist.
das ist nur eine Informationsmitteilung, keine Rückfrage!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> Als erstes solltest Du die Definitionen der Begriffe
> mitteilen. Einerseits, um auf eventuelle Besonderheiten in
> der Notation Deines Professors eingehen zu koennen,
> andererseits, damit Du Dich gedanklich mit dem Stoff
> beschaeftigst.
>
> Ich untersuche beispielhaft, ob die Teilmenge [mm]X:= \{(x,y)\in \IR^{2}|x^{2}+y^{2}=1\}[/mm]
> des [mm]\IR^{2}[/mm] offen ist.
> [mm]X[/mm] ist offen, wenn es fuer alle [mm](x,y)\in X[/mm] eine offene
> Kugel [mm]B_{r}(x,y)[/mm] um [mm](x,y)[/mm] mit Radius [mm]r>0[/mm] gibt, sodass
> [mm]B_{r}(x,y)\subseteq X[/mm] gilt.
>
> Meine Vermutung ist, dass die Menge nicht offen ist. Ich
> kann sie mir z.B. als Kreislinie vorstellen und die
> Kreislinie enthaelt keine Kreisscheibe: beachte, dass eine
> Kugel des [mm]\IR^{2}[/mm] anschaulich eine Kreisscheibe ist.
das ist etwas merkwürdig formuliert. Ich denke Du meinst das aber so:
Wir haben eine (echte) Kreislinie ("echt", wegen Radius $r=1 > [mm] 0\,$). [/mm] Betrachtet
man irgendeinen Punkt dieser Kreislinie (des Einheitskreises), so gibt es
für diesen keine Kreisscheibe, dessen Mittelpunkt er ist, so, dass diese
Kreisscheibe gänzlich in der Kreislinie des Einheitskreises gefangen sein
kann.
(Man beachte übrigens bei der Offenheit, dass die *Kugeln um einen Punkt
in der offenen Menge* je nach Mittelpunkt auch andere Radien haben dürfen.
Die Offenheit von $(a,b) [mm] \subseteq \IR$ [/mm] mit [mm] $-\infty [/mm] < a < b < [mm] \infty$ [/mm] zeigt man etwa, indem man für
$x [mm] \in (a,b)\,$ [/mm] dann [mm] $r:=\min\{|x-a|,\;|x-b|\}$ [/mm] wählt - insbesondere ist also [mm] $r=r(x)\,$!)
[/mm]
Anschaulich kann man das auch ein wenig motivieren: Die Kreislinie selber
hat halt keinen Flächeninhalt, aber jede auch noch so kleine Kreisscheibe
hat einen. ("Kreisscheiben" haben immer Radien > 0.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Sa 25.04.2015 | | Autor: | checky |
Okay, danke für das anschauliche Beispiel.
Äquivalent dazu wäre ja dann bei 1. die Menge abgeschlossen, oder ?
Denn ich kann mit ja die Menge als Gerade vorstellen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, danke für das anschauliche Beispiel.
> Äquivalent dazu wäre ja dann bei 1. die Menge
> abgeschlossen, oder ?
> Denn ich kann mit ja die Menge als Gerade vorstellen.
ja - die Menge [mm] $M:=\{(x;y) \in \IR^2: 3x-5y=7\}$ [/mm] ist als Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] in der Tat
abgeschlossen. Beachte aber, dass Du bei der Abgeschlossenheit etwas zu
zeigen hast: Es gibt Mengen, die sind abgeschlossen, aber nicht offen. Es
gibt Mengen, die sind sowohl abgeschlossen als auch offen. Es gibt Mengen,
die sind weder abgeschlossen noch offen. Also aus nichtoffen folgt noch
lange nicht abgeschlossen.
Zu obigem: [mm] $M\,$ [/mm] ist nicht offen. Wäre [mm] $M\,$ [/mm] offen, so könntest Du insbesondere
um den Punkt [mm] $(\tfrac{7}{3};0)$ [/mm] eine offene Kreisscheibe legen, die ganz auf
der Geraden liegen würde. Zeige rechnerisch, dass das nicht geht.
Die Menge ist aber abgeschlossen, ich zeige das jetzt so, dass ich zeige,
dass jede Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] mit [mm] $z_n \in [/mm] M$ erfüllt:
Falls [mm] $(z_n)$ [/mm] konvergent in [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, dann liegt der Grenzwert von [mm] $(z_n)$ [/mm] auch
schon in M.
Seien [mm] $z_n=(x_n;y_n) \in M\,,$ [/mm] also [mm] $3x_n-5y_n=7$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Zudem setzen wir voraus,
dass [mm] $z_n \to [/mm] z=(x;y) [mm] \in \IR^2\,.$
[/mm]
Zu zeigen: $(x;y) [mm] \in M\,,$ [/mm] also äquivalent dazu: $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $3x-5y=7\,.$
[/mm]
Beweis: Aus $M [mm] \ni z_n=(x_n;y_n) \to [/mm] z=(x;y)$ folgt [mm] $\|z_n-z\|_2=\|(x_n;y_n)-(x;y)\|_2=\sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2} \to 0\,.$
[/mm]
Dies impliziert [mm] $x_n \to [/mm] x$ (d.h. [mm] $|x_n-x| \to [/mm] 0$) und [mm] $y_n \to y\,.$ [/mm] Die Rechenregeln für
in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folgen liefern sodann
[mm] $7=3x_n-5y_n \to 3x-5y\,,$
[/mm]
so dass $3x-5y=7$ gelten muss. Also folgt $(x;y) [mm] \in M\,.$
[/mm]
Nebenbei: Benutzt habe ich
![[]](/images/popup.gif) Satz 9.15
(Man kann oben an einer Stelle auch Bemerkung 8.17 verwenden; ich
denke aber, dass man das Argument hier gar nicht in einer solch' allgemeinen
Form benötigt!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 25.04.2015 | | Autor: | checky |
Vielen Dank. Das macht es um einiges klarer.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 26.04.2015 | | Autor: | checky |
M := { (r,z) | [mm] r\in \IR [/mm] , [mm] z\in \IZ [/mm] } wäre ja dann die Menge [mm] \IR [/mm] x [mm] \IZ.
[/mm]
Aber warum sollte diese Menge keine innereren bzw. isolierten Punkte besitzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> M := [mm] \{ (r,z) | r\in \IR, \;z\in \IZ\} [/mm] wäre ja dann die
> Menge [mm]\IR[/mm] x [mm]\IZ.[/mm]
> Aber warum sollte diese Menge keine innereren bzw.
> isolierten Punkte besitzen?
Fred sagte, dass Du mal ein Bild malen sollst: Du hast dann, reden wir mal
in der Sprache der Schulmathematik, alle "Geraden"
[mm] $y=z\,$
[/mm]
mit $z [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Also "die Geraden"
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
[mm] $\bullet$ $y=-3\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $y=-2\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $y=-1\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $y=0\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $y=1\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $y=2\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $y=3\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
Nun betrachten wir einen Punkt $(x,y) [mm] \in M\,.$ [/mm] Der "liegt auf einer Geraden [mm] $y=z\,,$"
[/mm]
d.h. es gibt ein $z [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $y=z\,:$ [/mm] Damit [mm] $(x,y)=(x,z)\,.$
[/mm]
Wenn ich nun eine offene Kreisscheibe mit Radius $r > [mm] 0\,$ [/mm] um $(x,y)=(x,z)$ lege,
dann liegt aber etwa der Punkt [mm] $(x+r/2,\;y)=(x+r/2,\;z) \neq [/mm] (x;y)$ dieser Kreisscheibe auch
wieder in [mm] $M\,.$ [/mm] Daher ist jeder Punkt $(x,y) [mm] \in [/mm] M$ NICHT isoliert.
Andererseits: Wäre der Punkt innerer Punkt, so müßte ich zumindest eine
offene Kreisscheibe um ihn legen können, die ganz zu M gehört. Halte ich
den Punkt also wieder als Mittelpunkt fest, so sehe ich aber:
Ich kann den Radius des Kreises so klein wählen, dass ich jedenfalls eine
Kreisscheibe erhalte, die wenigstens nur die aktuelle Gerade schneidet.
(Hier reicht die Wahl eines Radius R mit $0 < R [mm] \le [/mm] 1$; beachte die Offenheit
der Kreisscheiben!).
Allerdings liegt dann etwa der Punkt [mm] $(x,\;y+R/2) \neq [/mm] (x,y)$ zwar in der Kreisscheibe,
nicht aber auf einer Geraden, gehört also nicht zu M.
Wie gesagt: Skizzen helfen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 So 26.04.2015 | | Autor: | checky |
Dankeschön. Ja das stimmt Skizzen machen es wirklich deutlicher .
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dankeschön. Ja das stimmt Skizzen machen es wirklich
> deutlicher .
> Vielen Dank.
was ich bei der Offenheit vielleicht noch ergänzen sollte, warum ich da
o.E. den Radius [mm] $\le [/mm] 1$ betrachten kann:
Wenn ich um einen Punkt eine offene Kreisscheibe legen kann, die ganz in
der betrachteten Menge liegt, dann liegt auch jede Teilmenge dieser wieder
ganz in der Menge.
Das *Verkleinern der Kreisscheibe* (der Mittelpunkt bleibt fix!) liefert mir
also eher *größere Chancen*, doch eine zu finden, die ganz in der Menge
liegt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 26.04.2015 | | Autor: | checky |
Also für die 1. Menge ist es nun im Großen und ganzen klar wie es funktioniert, aber wie mach ich das bei der 2. Menge [mm] \IR [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 26.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also für die 1. Menge ist es nun im Großen und ganzen
> klar wie es funktioniert, aber wie mach ich das bei der 2.
> Menge [mm]\IR[/mm] x [mm]\IZ[/mm] ?
Mach Die mal ein Bild dieser Menge. Dann solltest Du z.B. sehen:
die Menge hat keine inneren Punkte und keine isolierten Punkte, etc ....
FRED
|
|
|
|
