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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 12.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | Seien U und V Teilräume des Vektorraumes W.
Zeige:
i) U [mm] \cap [/mm] V [mm] \in [/mm] W
ii) U+V [mm] \in [/mm] W
(Es gibt keine Orginalaufgabe, aber ich wollte das mal beweisen und habe solche Aufgabenstellungen schon gesehen). |
Hallo,
ich würde mich freuen, wenn jemand die beiden kurzen Beweisen sich anschauen und "korrigieren" mag. Ich freue mich auch über Kritik!
i) Angenommen U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not\in [/mm] W. Dann gibt es kein w [mm] \in [/mm] W, so dass gilt:
w [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] V.
Es gilt 0 (Nullvektor) [mm] \in [/mm] U und 0 [mm] \in [/mm] V, da U und V Unterräume von W sind.
Somit gibt es w, dass aus U und aus V ist.
Folglich haben wir einen Widerspruch zur Annahme erhalten und es gilt U [mm] \cap [/mm] V [mm] \in [/mm] W.
ii) Angenommen U+V [mm] \not\in [/mm] W.
Dann gibt es kein x [mm] \in [/mm] W, u [mm] \in [/mm] U, v [mm] \in [/mm] V, so dass u+v=x gilt.
Da U und V Unterräume von W sind, gilt 0 [mm] \in [/mm] U und 0 [mm] \in [/mm] V. Sei u = 0 und v=0. Dann gilt u+v = 0. Somit gibt es ein x [mm] \in [/mm] W, [mm] u\in [/mm] U und v [mm] \in [/mm] V mit x=u+v.
Folglich haben wir einen Widerspruch zur Annahme erhalten und es gilt U+V [mm] \in [/mm] W.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mi 12.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du meinst doch wohl nicht
U [mm] \cap [/mm] V [mm] \in [/mm] W sondern U [mm] \cap [/mm] V [mm] \subset [/mm] W
das erste macht keinen Sinn. Vektorräume sind nicht Elemente von Vektorräumen.
Dann musst du aber zeigen dass jeder Vektor aus U [mm] \cap [/mm] V in W liegt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Do 13.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo leduart,
> du meinst doch wohl nicht
> U [mm]\cap[/mm] V [mm]\in[/mm] W sondern U [mm]\cap[/mm] V [mm]\subset[/mm] W
Ja da hast du natürlich recht!
Also sind die Beweise falsch, auch wenn ich " [mm] \in [/mm] W " durch " [mm] \subset [/mm] W " ersetze?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Do 13.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo elefanti
ich hatte doch geschrieben, was du beweisen musst. Also sind deine Beweise keine.
Stell dir das erstmal im [mm] \IR^3 [/mm] vor, U,V Geraden oder Ebenen durch (0,0,0) welche Möglichkeiten gibt es. Dann nen allgemeinen Beweis, geleitet von deiner Vorstellung.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 13.09.2007 | | Autor: | holwo |
hallo!
um zu beweise dass eine menge M ein untervektorraum ist von W habe ich immer [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] M und dann gezeigt, dass [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} \in [/mm] W , und dann mit [mm] \lambda x_{1}
[/mm]
bei diesen 2 fällen klappts auch soweit ich mich erinnere
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Do 13.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen Dank für eure Korrektur!
Ich habe nun für U [mm] \cup [/mm] V [mm] \subset [/mm] W :
Es seien x [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K. Da x [mm] \in [/mm] U und x [mm] \in [/mm] V, gilt [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] U und [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] V. Also ist auch [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] V und somit ist U [mm] \cup [/mm] V [mm] \subset [/mm] W.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 13.09.2007 | | Autor: | holwo |
hallo,
wolltest du nicht für [mm] \cap [/mm] zeigen?
du hast dein x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V und erst jetzt ist x [mm] \in [/mm] U UND x [mm] \in [/mm] V ...
du musst aber auch ein y [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V nehmen, weil du zeigen willst, dass x + y [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V
dabei benutzt du die tatsache, dass U und V untervektorräume sind
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 13.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Ja natürlich für [mm] \cap!
[/mm]
Also nochmal:
Ich habe nun für U [mm] \cap [/mm] V [mm] \subset [/mm] W :
Es seien x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K. Da x [mm] \in [/mm] U und x [mm] \in [/mm] V, gilt [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] U und [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] V. Also ist auch [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V . Da y [mm] \in [/mm] U und y [mm] \in [/mm] V gilt, ist auch x+y [mm] \in [/mm] U und x+y [mm] \in [/mm] V und somit ist U [mm] \cap [/mm] V [mm] \subset [/mm] W.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 13.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwo musst du doch benutzen ,das U,V Unterräume von W sind! das muss explizit benutzt werden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 13.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Okay, vielen Dank!
Nun zu U+V [mm] \subset [/mm] W:
Sei x [mm] \in [/mm] U+V, [mm] \lambda, \lambda1, \lambda2 \in [/mm] K. Dann existieren u [mm] \in [/mm] U, v [mm] \in [/mm] V mit [mm] \lambda [/mm] x = [mm] \lambda1 [/mm] u + [mm] \lambda2 [/mm] v. Da U und V Unterräume von W sind und [mm] \lambda1 [/mm] u [mm] \in [/mm] U und [mm] \lambda2 [/mm] v [mm] \in [/mm] V, gilt [mm] \lambda1 [/mm] u [mm] \in [/mm] W und [mm] \lambda2 [/mm] v [mm] \in [/mm] W, also [mm] \lambda [/mm] (u+v) [mm] \in [/mm] W und damit [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] W.
Sei x,y [mm] \in [/mm] U+V. Dann existieren [mm] u_{1}, u_{2} \in [/mm] U und [mm] v_{1}, v_{2} \in [/mm] V mit x = [mm] u_{1} [/mm] + [mm] v_{1} [/mm] und y = [mm] u_{2} [/mm] + [mm] v_{2}.
[/mm]
Da U und V Unterräume von W sind, gilt [mm] u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2} \in [/mm] W. Da W selbst ein Unterraum ist, gilt somit [mm] u_{1} [/mm] + [mm] v_{1} \in [/mm] W und [mm] u_{2} [/mm] + [mm] v_{2} \in [/mm] W, also x [mm] \in [/mm] W und y [mm] \in [/mm] W.
Somit ist U+V [mm] \subset [/mm] W.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Do 13.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo elefant
Ich seh keinen Fehler mehr, dass W selbst Unterraum ist brachst du doch nicht, nur, dass es Vektorraum ist.
und besser wär zu formuliern nicht sei x...
sondern zu jedem x aus....
ändert aber nichts am Beweis
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Do 13.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Super, vielen vielen Dank!
Liebe Grüße
elefanti
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