Teilräume des \IR_{\le2}[x] < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Aoide |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob M Teilraum des [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] ist!
M = [mm] {p_{2}x^2+p_{1}x+p_{0} \in \IR_{\le2}[x]|p_{2}= 3p,p_{0}} [/mm] |
Damit M Teilraum ist, muss sie ja drei Bedingungen erfüllen, die da wären:
1. M [mm] \not= [/mm] 0
2. [mm] \vec{x}, \vec{y} \in [/mm] M [mm] \Rightarrow \vec{x}+\vec{y} \in [/mm] M
3. [mm] \alpha \in \IK, \vec{x} \in [/mm] T [mm] \Rightarrow \alpha \* \vec{x} \in [/mm] T.
Ich denke, die erste Bedingung ist erfüllt, denn f(x) = [mm] x^2+x \in [/mm] M, wenn z.B. [mm] p_{0-2}= [/mm] 1.
Bei der zweiten Bedinung weiß ich aber schon nicht, wie ich die verschiedenen Variablen betrachte. für ein p würde ich sagen:
Sei [mm] f_1(x) \in [/mm] M, d.h. [mm] \exists p_{1} \in \IR, [/mm] sodass [mm] f_{1}(x)=p_{1}(x).
[/mm]
Sei [mm] f_{2}(x) \in [/mm] M, d.h. [mm] \exists p_{2} \in \IR, [/mm] sodass [mm] f_{2}(x)=p_{2}(x).
[/mm]
Es wäre dann zu zeigen, dass [mm] f_{1}(x)+f_{2}(x) \in [/mm] M mit einem [mm] p_{3}x, [/mm] sodass [mm] f_{1}(x)+f_{2}(x)= p_{3}(x).
[/mm]
Da ich aber schon in der Menge 3 verschiedene p habe, weiß ich nicht, wie ich das darauf beziehe.
Genauso geht es mir mit der 3.Bedingung. Ich weiß prinzipiell, wie ich es für eine Variable lösen kann, aber für drei habe ich keine Idee.
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie, ob M Teilraum des [mm]\IR_{\le2}[x][/mm] ist!
>
> M = [mm]{p_{2}x^2+p_{1}x+p_{0} \in \IR_{\le2}[x]|p_{2}= 3p,p_{0}}[/mm]
ich nehme an , es lautet
M ={ [mm] p_{2}x^2+p_{1}x+p_{0} \in \IR_{\le2}[x]|p_{2}= 3p_1p_{0} [/mm] }
>
> Damit M Teilraum ist, muss sie ja drei Bedingungen
> erfüllen, die da wären:
> 1. M [mm]\not=[/mm] 0
> 2. [mm]\vec{x}, \vec{y} \in[/mm] M [mm]\Rightarrow \vec{x}+\vec{y} \in[/mm]
> M
> 3. [mm]\alpha \in \IK, \vec{x} \in[/mm] T [mm]\Rightarrow \alpha \* \vec{x} \in[/mm]
> T.
>
> Ich denke, die erste Bedingung ist erfüllt, denn f(x) =
> [mm]x^2+x \in[/mm] M, wenn z.B. [mm]p_{0-2}=[/mm] 1.
>
> Bei der zweiten Bedinung weiß ich aber schon nicht, wie
> ich die verschiedenen Variablen betrachte. für ein p
> würde ich sagen:
> Sei [mm]f_1(x) \in[/mm] M, d.h. [mm]\exists p_{1} \in \IR,[/mm] sodass
> [mm]f_{1}(x)=p_{1}(x).[/mm]
> Sei [mm]f_{2}(x) \in[/mm] M, d.h. [mm]\exists p_{2} \in \IR,[/mm] sodass
> [mm]f_{2}(x)=p_{2}(x).[/mm]
> Es wäre dann zu zeigen, dass [mm]f_{1}(x)+f_{2}(x) \in[/mm] M mit
> einem [mm]p_{3}x,[/mm] sodass [mm]f_{1}(x)+f_{2}(x)= p_{3}(x).[/mm]
> Da ich
> aber schon in der Menge 3 verschiedene p habe, weiß ich
> nicht, wie ich das darauf beziehe.
> Genauso geht es mir mit der 3.Bedingung. Ich weiß
> prinzipiell, wie ich es für eine Variable lösen kann,
> aber für drei habe ich keine Idee.
jetzt nehmen wir mal 2 Elemente aus M:
[mm] p_{2}x^2+p_{1}x+p_{0} [/mm] und [mm] q_{2}x^2+q_{1}x+q_{0} [/mm]
Jetzt addieren wir diese beiden Polynome:
[mm] (p_{2}+q_2)x^2+(p_{1}+q_1)x+(p_{0} +q_0)
[/mm]
Kannst Du nun sicherstellen, dass
[mm] (p_2+q_2) [/mm] = [mm] 3(p_1+q_1)(p_0+q_0) [/mm] ist ?
oder gibt es solche Polynome mit
[mm] (p_2+q_2) \not= 3(p_1+q_1)(p_0+q_0) [/mm] ?
FRED
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> Danke für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Danke erstmal, bin leider erst heute wieder dazu gekommen :S
Ich verstehe leider nicht ganz, wie ich jetzt weiter vorgehen soll.
Nach Umstellen bekäme ich raus
[mm] p_{2}+q_{2}= \bruch{p_{1}+q_{1}}{x}+ \bruch{p_{0}+q_{0}}{x^2}
[/mm]
Das wiederspricht sich ja total mit der Bedingung [mm] p_{2}+q_{2}= 3(p_{1}+q_{1})(p_{0}+q_{0}).
[/mm]
Allerdings wurden in der Bedingung ja auch keine x-Variablen betrachtet.
Aber egal welche Zahl ich für das x einsetze, letztendlich komme ich niemals auf die Bedingungsgleichung, oder?
Ist das der Gegenbeweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 25.11.2009 | | Autor: | horus00 |
zu prüfen oder widerlegen ist:
[mm] (p_{2}+q_{2})=3(p_{1}+q_{1})(p_{0}+q_{0})
[/mm]
dann setzt du links die Gleichung der Ausgangsbedingungen ein:
[mm] p_{2}=3p_{1}p_{0} [/mm] und [mm] q_{2}=3q_{1}q_{0}
[/mm]
[mm] (3p_{1}p_{0})+(3q_{1}q_{0})=3(p_{1}+q_{1})(p_{0}+q_{0})
[/mm]
nun gucken, ob es gilt oder nicht. man sieht:
[mm] (p_{1}p_{0})+(q_{1}q_{0})=(p_{1}+q_{1})(p_{0}+q_{0})
[/mm]
[mm] p_{1}p_{0}+q_{1}q_{0}\not=p_{1}p_{0}+p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0}+q_{1}q_{0}
[/mm]
da man diese Gleichung noch vereinfachen kann, glaube ich:
[mm] p_{1}p_{0}+q_{1}q_{0}\not=p_{1}p_{0}+p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0}+q_{1}q_{0}
[/mm]
wenn bei der Menge [mm] M_{1} [/mm] folgende Bedingung gegeben wäre, würde es(Bedingung2 für den Beweis, dass [mm] M_{1} [/mm] Teilraum des [mm] \IR_{\le2} [/mm] ist) gelten:
[mm] p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0}=0 [/mm] bzw. [mm] p_{1}q_{0}=-q_{1}p_{0}
[/mm]
da, diese Bedingung aber nicht besteht, sollte es damit leicht sein, ein Gegenbeispiel zu finden...
Schönen Abend
horus00
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Vielen Dank für diese tolle Erklärung!
Manchmal muss man halt etwas stärker auf etwas gestoßen werden...
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