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Teilräume von $L^p[0,1]$: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:49 Mo 24/09/2018
Author: mathestudent222

Ist jede stetige Funktion Teilraum von [mm] $L^p[0,1]$ [/mm] für [mm] $p\geq [/mm] 1$, d.h. gilt immer [mm] $C[0,1]\subset L^p[0,1]$? [/mm] Oder benötigt man dafür auch einen kompakten Träger?

        
Bezug
Teilräume von $L^p[0,1]$: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:47 Mo 24/09/2018
Author: fred97


> Ist jede stetige Funktion Teilraum von [mm]L^p[0,1][/mm] für [mm]p\geq 1[/mm],
> d.h. gilt immer [mm]C[0,1]\subset L^p[0,1][/mm]? Oder benötigt man
> dafür auch einen kompakten Träger?

Jede  stetige Funktion f auf [0,1] ist messbar und beschränkt.  Damit gilt obige Inklusion für  [mm] p=\infty. [/mm] Weiter  ist, für 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty, [/mm]  auch [mm] f^p [/mm] stetig, damit ist [mm] f^p [/mm] integrierbar.  Obige Inklusion gilt  also auch für [mm] 1\le [/mm] p < [mm] \infty. [/mm]

Bezug
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