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| Aufgabe | Sei [mm] \beta: [/mm] VxW [mm] \to [/mm] K eine Bilinarform
a)Ist H={x [mm] \in [/mm] V | [mm] \beta(x,y)=0 [/mm] für alle y [mm] \in [/mm] W} eine Teilraum von V?
b)Beweise , dass H={0} gdw [mm] \beta [/mm] nicht ausgeartet in der 1. Varibale ist.
c) Zeige: [mm] (^{t}\beta)_1=\beta_2
[/mm]
d) sei W endlich dimensional. Identifiziert man W und W** vermöge dem kanonischen Isomorphismus W -> W** , so gilt
[mm] (\beta_1)*=(^{t}\beta)_1= \beta_2 [/mm] |
zu a) Teilraum
allgemein:
x,y [mm] \in [/mm] U -> x+y [mm] \in [/mm] U
c [mm] \in [/mm] K x [mm] \in [/mm] U -> cx [mm] \in [/mm] U
die kriterien können ja eigentlich nicht ganz richtig sein, da es hier ja 2 verschiedene vekorräume V, W gibt? !?
----
mache ich das richtig?
x+y : [mm] \beta (x+x',y+y')=\beta(x,y)+\beta(x',y)+\beta(x,y')
[/mm]
cx : [mm] \betac(cx,y)=c\beta(x,y)
[/mm]
zu b)
was beutet H={0}? [mm] H={0}=\beta(0,0)=0 [/mm] ?
" [mm] \Leftarrow [/mm] " H={0} ->x=y=0 -> x=0 -> [mm] \beta [/mm] ist nicht ausgeartet in der 1.Variavble
" [mm] \Rightarrow" [/mm] x=0 -> [mm] \beta(0,y)=0 [/mm] -> ?
zu c) was genau ist denn mit [mm] \beta_1 [/mm] , [mm] \beta_2 [/mm] gemeint?
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Hallo weihnachtsmann,
> Sei [mm] \beta: [/mm] VxW [mm] \to [/mm] K eine Bilinarform
>
> a)Ist [mm] H=\{x \in V | \beta(x,y)=0 \ \text{für alle} \ y \in W\} [/mm] eine
> Teilraum von V?
>
> b)Beweise , dass [mm] H=\{0\} [/mm] gdw [mm]\beta[/mm] nicht ausgeartet in der 1.
> Varibale ist.
> c) Zeige: [mm](^{t}\beta)_1=\beta_2[/mm]
>
> zu a) Teilraum
> allgemein:
> x,y [mm]\in[/mm] U -> x+y [mm]\in[/mm] U
> c [mm]\in[/mm] K x [mm]\in[/mm] U -> cx [mm]\in[/mm] U
>
> die kriterien können ja eigentlich nicht ganz richtig sein,
> da es hier ja 2 verschiedene vekorräume V, W gibt? !?
Aber [mm] $H\subset [/mm] V$ soll ja "nur" ein Unterraum von $V$ sein:
zu prüfen sind also die 3 Unterraumkriterien:
(1) [mm] $0\in [/mm] H$
(2) [mm] $\forall x_1,x_2\in [/mm] H : [mm] x_1+x_2\in [/mm] H$
(3) [mm] $\forall \lambda\in\IK [/mm] \ [mm] \forall x\in [/mm] H : [mm] \lambda\cdot{}x\in [/mm] H$
Das machst du durch sturen Nachrechnen (unter Benutzung der Eigenschaften einer BLF)
Ich mache mal exemplarisch (2):
Seien also [mm] $x_1, x_2\in [/mm] H$ beliebig.
Dann gilt für alle [mm] $y\in [/mm] W : [mm] \beta(x_1,y)=0\wedge\beta(x_2,y)=0$
[/mm]
(so ist ja H definiert)
zu prüfen ist dann, ob auch [mm] $x_1+x_2\in [/mm] H$ sind, ob also für alle [mm] $y\in [/mm] W$ gilt:
[mm] $\beta(x_1+x_2,y)=0$
[/mm]
Machen wir das mal: Sei also [mm] $y\in [/mm] W$ beliebig
Dann ist [mm] $\beta(x_1+x_2,y)=\beta(x_1,y)+\beta(x_2,y)$ [/mm] Linearität von [mm] $\beta$ [/mm] in der 1. Komponente
$=0+0$ da [mm] $x_1\in [/mm] H$ und [mm] $x_2\in [/mm] H$
$=0$, also [mm] $x_1+x_2\in [/mm] H$ (da y beliebig war)
> ----
> mache ich das richtig?
>
> x+y : [mm]\beta (x+x',y+y')=\beta(x,y)+\beta(x',y)+\beta(x,y')[/mm]
>
> cx : [mm]\betac(cx,y)=c\beta(x,y)[/mm]
Nicht so ganz, mache dir klar, was genau du zeigen musst - siehe oben
> zu b)
>
> was beutet H={0}?
Dass $H$ nur den Nullvektor aus $V$ enthält
> [mm]H={0}=\beta(0,0)=0[/mm] ?
>
> " [mm]\Leftarrow[/mm] " H={0} ->x=y=0 -> x=0 -> [mm]\beta[/mm] ist nicht
> ausgeartet in der 1.Variavble
>
> " [mm]\Rightarrow"[/mm] x=0 -> [mm]\beta(0,y)=0[/mm] -> ?
Schreibe dir mal genau auf, was denn nicht ausgeartet (oder nicht degeneriert) in der 1. Komponente heißt:
[mm] $\beta$ [/mm] nicht ausgeartet in der 1. Komponente, falls [mm] $\forall x\in [/mm] V : [mm] \beta(x,y)=0 [/mm] \ [mm] \forall y\in W\Rightarrow [/mm] x=0$
Damit sollte das doch klappen...
> zu c) was genau ist denn mit [mm]\beta_1[/mm] , [mm]\beta_2[/mm] gemeint?
k.A.: da musst du schon verraten, was ihr in der VL mit [mm] $\beta_1$ [/mm] und [mm] $\beta_2$ [/mm] bezeichnet...
LG
schachuzipus
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[mm] \beta_1 [/mm] : V -> ^{t}W [mm] (\beta_1 [/mm] x)(y)= [mm] \beta(x,y) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V, y [mm] \in [/mm] W
[mm] \beta_2 [/mm] : W -> ^{t}V [mm] (\beta_2 [/mm] y)(x)= [mm] \beta(x,y) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V, y [mm] \in [/mm] W
beweise: [mm] ^{t}(\beta)_1=\beta_2
[/mm]
1) [mm] ^{t}(\beta)=^{t}\beta(x,y)=\beta(y,x)
[/mm]
-> [mm] (\beta_1 y,x)=\beta(y,x)
[/mm]
2) [mm] \beta_2=(\beta_2 x,y)=\beta(y,x)
[/mm]
aus 1) und 2) folgt [mm] ^{t}(\beta)_1=\beta_2
[/mm]
ist das korrekt?
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ist das richtig aufgeschrieben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Di 22.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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[mm] \beta [/mm] nicht ausgeartet in der 1. Komponente, falls
[mm]\forall x\in V : \beta(x,y)=0 \ \forall y\in W\Rightarrow x=0[/mm]
Daraus soll gefolgert werden, dass H={0} ist
Also:
[mm] \forall x\in [/mm] V : [mm] \beta(x,y)=0 [/mm] \ [mm] \forall y\in W\Rightarrow [/mm] x=0
-> H={0=x [mm] \in [/mm] V | [mm] \beta(0,y)=0 [/mm] für alle y [mm] \in [/mm] V}
d. h in H ist nur der Nullvekor enthalten, da x=0 ist und [mm] \beta=0 [/mm] ist.
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diese teilfrage hat sich erledigt
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zu d) ich verstehe nicht wirklich was damit gemeint ist, was genau soll "identifiziere" hier bedeuten?
[mm] 1)(\beta_1)^{*}=^{t}(\beta_1)=^{t}((\beta_1x)(y))=^{t}(\beta(x,y)) =\beta(y,x)
[/mm]
[mm] 2)\beta_2=(\beta_2 y)(x)=\beta(x,y)
[/mm]
1) [mm] \not= [/mm] 2) ... :( sollte es doch eigentlich gleich sein...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 22.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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