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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Do 17.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Vorlesung:(war heute das erste mal Lineare algebra)
Jede teilraum besitzt Basis
[mm] \exists b_1,..b_l \in [/mm] L so dass sich jede Lösung x [mm] \in [/mm] L in der Linearkombination anschreiben lässt:
x = [mm] s_1 b_1 [/mm] + [mm] ...s_l b_l
[/mm]
[mm] s_1...s_l \in \IR [/mm] ist eindeutig bestimmt
Abbildung [mm] \Phi: \IR^l [/mm] -> L
[mm] \Phi \begin{pmatrix}s1\\ \cdot\\ \cdot \\s_l \end{pmatrix} :=s_1 b_1 +...s_l b_l [/mm] ist Bijektion.
L lässt sich durch l reelle Zahlen parametrisieren.
L = [mm] \{ s_1 b_1 +...s_l b_l | s_1 ...s_l \in\IR\} [/mm] |
Mir fehlt ein bisschen das Verständnis, ich hoffe ich könnt meine <Fragen bezüglich des Stoffes beantworten!
Als was kann ich mir [mm] b_1,..b_l [/mm] vorstellen? Was stellen die in meinen Glg-System dar?
Ist b die Basis oder?
Und als was kann ich mir [mm] s_1 ...s_l [/mm] in einen Glg.-system vorstellen?
x = [mm] s_1 b_1 [/mm] + [mm] ...s_l b_l
[/mm]
also lässt sich z.B eine Lösung x als eine LinearKombination darstellen?
Hat jede Lösung die selbe anzahl von Basisvektoren?
Und als was ist die dimension von L zu verstehen?
dim (L) = l
?
Bitte wirklich auf die Fragen eingehen!!!!DANKE!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Do 17.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vorlesung:(war heute das erste mal Lineare algebra)
> Jede teilraum besitzt Basis
> [mm]\exists b_1,..b_l \in[/mm] L so dass sich jede Lösung x [mm]\in[/mm] L
> in der Linearkombination anschreiben lässt:
> x = [mm]s_1 b_1[/mm] + [mm]...s_l b_l[/mm]
> [mm]s_1...s_l \in \IR[/mm] ist eindeutig
> bestimmt
>
> Abbildung [mm]\Phi: \IR^l[/mm] -> L
> [mm]\Phi \begin{pmatrix}s1\\ \cdot\\ \cdot \\s_l \end{pmatrix} :=s_1 b_1 +...s_l b_l[/mm]
> ist Bijektion.
> L lässt sich durch l reelle Zahlen parametrisieren.
> L = [mm]\{ s_1 b_1 +...s_l b_l | s_1 ...s_l \in\IR\}[/mm]
>
> Mir fehlt ein bisschen das Verständnis, ich hoffe ich
> könnt meine <Fragen bezüglich des Stoffes beantworten!
>
> Als was kann ich mir [mm]b_1,..b_l[/mm] vorstellen? Was stellen die
> in meinen Glg-System dar?
>
> Ist b die Basis oder?
>
> Und als was kann ich mir [mm]s_1 ...s_l[/mm] in einen Glg.-system
> vorstellen?
>
> x = [mm]s_1 b_1[/mm] + [mm]...s_l b_l[/mm]
> also lässt sich z.B eine Lösung
> x als eine LinearKombination darstellen?
>
> Hat jede Lösung die selbe anzahl von Basisvektoren?
>
> Und als was ist die dimension von L zu verstehen?
> dim (L) = l
> ?
Nimm als Beispiel den dreidimensionalen Raum mit Koordinaten $x,y,z$. Jede Ebene durch den Nullpunkt bildet einen Teilraum. Beispiel ist die xy-Ebene, deren Punkte durch die Koordinaten
[mm] \vektor{s_1\\s_2\\0} [/mm]
beschrieben werden. Eine mögliche Basis besteht aus
[mm] b_1 = \vektor{1\\0\\0} , b_2 = \vektor{0\\1\\0} [/mm] .
Jeder Punkt x in der xy-Ebenen lässt also schreiben als Linearkombination
[mm] s_1 b_1 + s_2 b_2 = s_1 \vektor{1\\0\\0} + s_2 \vektor{0\\1\\0} = \vektor{s_1\\s_2\\0} [/mm] ,
und die Zahlen [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] sind für einen gegebenen Punkt x eindeutig bestimmt.
Damit gibt es zu der Basis [mm] $b_1,b_2$ [/mm] eine bijektive Abbildung, die jedem Paar [mm] $(s_1,s_2) \in \IR^2$ [/mm] den Punkt [mm] $x\in\IR^3$ [/mm] eineindeutig zuordnet:
[mm] \Phi\vektor{s_1\\s_2} = x [/mm] .
Es ist aber auch möglich eine andere Basis zu wählen, zum Beispiel
[mm] b'_1 = \vektor{1\\1\\0} , b'_2 = \vektor{-1\\1\\0} [/mm] .
Damit gehören zu jedem Punkt zwei andere Zahlen $s'_1,s'_2$, und auch wieder eine andere bijektive Abbildung
[mm] \Phi'\vektor{s'_1\\s'_2} = x [/mm] .
Wie du hier siehst, ist die Zahl der Basiselemente (2) charakteristisch für den Teilraum, das nennt sich die Dimension des Teilraums. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Basis zu wählen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke ;)
Liebe grüße
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