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Teilraumtopologie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mo 03.09.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
angenommen, ich betrachte eine Menge U, die bzgl. der durch die euklidische Norm induzierten Teilraumtopologie auf einem metrischen Raum Y Y-offen ist. Sei zudem ein weiterer metrischer Raum X gegeben, mit $Y [mm] \subset [/mm] X$. Wenn ich jetzt einen Diffeomorphismus [mm] $\varphi: [/mm] Y [mm] \rightarrow [/mm] X$ habe, d.h. die Funktion ist bijektiv und die (Umkehr-)Funktion ist stetig diffbar., ist dann [mm] $\varphi(Y)$ [/mm] offen?

        
Bezug
Teilraumtopologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Mo 03.09.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Maxi,

> Hallo,
>  angenommen, ich betrachte eine Menge U, die bzgl. der
> durch die euklidische Norm induzierten Teilraumtopologie
> auf einem metrischen Raum Y Y-offen ist.
> Sei zudem ein
> weiterer metrischer Raum X gegeben, mit [mm]Y \subset X[/mm]. Wenn
> ich jetzt einen Diffeomorphismus [mm]\varphi: Y \rightarrow X[/mm]
> habe, d.h. die Funktion ist bijektiv und die
> (Umkehr-)Funktion ist stetig diffbar., ist dann [mm]\varphi(Y)[/mm]
> offen?

Ich sehe nicht, wo die Menge $U$ Verwendung findet. Meintest du evtl. [mm] $\varphi(U)$ [/mm] statt [mm] $\varphi(Y)$ [/mm] in deiner Frage?

Ganz allgemein:

Du hast zwei metrische Räume $X,Y$ mit $Y [mm] \subset [/mm] X$. Die durch die Metrik von $X$ induzierte Topologie vererbt sich als Teilraumtopologie auf $Y$.

Eine Teilmenge $U [mm] \subset [/mm] Y$ ist sogleich offen genau dann, wenn es eine offene Teilmenge [mm] $\Omega \subset [/mm] X$ gibt so dass $ U = Y [mm] \cap \Omega$ [/mm] gilt.

Für einen Homöomorphismus [mm] $\varphi: [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ zwischen top. Räumen gilt insbesondere, dass [mm] $\varphi$ [/mm] offen ist (Äquivalent dazu dass [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] stetig ist).

D.h. für jede in $Y$ offene Teilmenge [mm] $U\subset [/mm] Y$ gilt, dass [mm] $\varphi(U)$ [/mm] offen ist in $X$. Also ist insbesondere [mm] $\varphi(Y)$ [/mm] offen in $X$.

Beantwortet das deine Frage?

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Teilraumtopologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Sa 15.09.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
ja das beantwortet meine Frage, vielen Dank.

Bezug
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