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| Aufgabe | Sei [mm] $(X,\tau_X)$ [/mm] ein topologischer Raum, [mm] $Z\subseteq [/mm] X$ und [mm] $\tau_Z=\{Z\cap U: U\in\tau_X\}$ [/mm] die Teilraumtopologie.
Zeigen Sie:
a) Ist [mm] $Z\subseteq [/mm] X$ offen, so ist [mm] $\tau_Z=\{U\in\tau_X:U\subseteq Z\}$
[/mm]
b) Ist [mm] $Z\subseteq [/mm] X$ abgeschlossen, so ist [mm] $A\subseteq [/mm] Z$ abgeschlossen bzgl. [mm] $\tau_Z$ [/mm] genau dann, wenn $A$ als Teilmenge von $X$ abgeschlossen ist bzgl. [mm] $\tau_X$.
[/mm]
c) Ist [mm] $(Y,\tau_Y)$ [/mm] ein topologischer Raum und [mm] $f:X\to [/mm] Y$ stetig (bzgl. [mm] $\tau_X$ [/mm] und [mm] $\tau_Y$), [/mm] so ist auch die Einschränkung
[mm] $f_{|Z}:Z\to [/mm] Y$ stetig (bzgl. [mm] $\tau_Z$ [/mm] und [mm] $\tau_Y$) [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Meine Beweise für a) und b) sehen wie folgt aus:
a)
Ich zeige die Gleichheit von zwei Mengen, also zeige ich wie gehabt beide Inklusionen.
Sei [mm] $Z_1\in\{Z\cap U: U\in\tau_X\}$ [/mm] beliebig, dann gibt es ein [mm] $U_Z\in\tau_X$ [/mm] mit [mm] $Z\cap U_Z=Z_1$, [/mm] da [mm] $Z\subseteq [/mm] X$ offen ist [mm] $Z\in\tau_X$, [/mm] wegen [mm] $U_Z\in\tau_X$ [/mm] ist also auch [mm] $Z_1\in\tau_X$ [/mm] und [mm] $Z_1\subseteq U\subseteq [/mm] Z$.
Daher [mm] $Z_1\in\{U\in\tau_X: U\subseteq Z\}$
[/mm]
Sei [mm] $Z_1\in\{U\in\tau_X:U\subseteq Z\}$ [/mm] beliebig, also [mm] $Z_1\in\tau_X$.
[/mm]
Dann ist [mm] $Z_1\subseteq [/mm] Z$, da [mm] $Z\subseteq [/mm] X$ offen ist [mm] $Z\in\tau_X$ [/mm] und [mm] $Z_1\in\{Z\cap U:U\in\tau_X\}$ [/mm] für [mm] $U=Z_1$.
[/mm]
b)
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] Z$ abgeschlossen bzgl. [mm] $\tau_Z$, [/mm] dann ist [mm] $Z\setminus [/mm] A$ offen in $Z$. Also [mm] $Z\setminus A\in\{Z\cap U: U\in\tau_X\}$, [/mm] wegen [mm] $Z\setminus A=Z\cap U_A$ [/mm] für ein [mm] $U_A\in\tau_X$
[/mm]
Weil [mm] $Z\setminus A=Z\cap A^c$ [/mm] ist [mm] $A^c=U_A\in\tau_X$ [/mm]
Somit ist $A$ abgeschlossen bezüglich [mm] $\tau_X$.
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] X$ abgeschlossen bzgl. [mm] $\tau_X$, [/mm] also [mm] $X\setminus [/mm] A$ offen (bzgl. [mm] \tau_X).
[/mm]
[mm] $X\setminus A=X\cap A^c$ [/mm] und [mm] $A^c$ [/mm] offen (denn $A$ ist abgeschlossen).
Da [mm] $A^c\in\tau_X$, [/mm] gilt [mm] $Z\cap A^c\in\tau_Z$ [/mm] mit [mm] $Z\subseteq [/mm] X$.
[mm] $Z\setminus A=Z\cap A^c\in\tau_Z$, [/mm] daher $A$ abgeschlossen bezüglich [mm] $\tau_Z$.
[/mm]
c)
Da $f$ stetig, ist $f$ stetig in jedem Punkt. Also ist insbesondere $f: [mm] Z\to [/mm] Y$ stetig.
(Ich bin mir eigentlich sicher, dass dies so wahrscheinlich falsch ist, aber dann verstehe ich nicht, was bei dieser Aufgabe die Schwierigkeit ist, bzw. was eigentlich gefordert ist).
Über Anregungen und eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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Ad c): Da bei der Definition von Stetigkeit (und auch bei Stetigkeit in einem Punkt) sicherlich irgendwo ein Bezug zu den betrachteten Topologien auftaucht, sollten diese auch in deiner Lösung auftauchen. Ich denke am einfachsten ist es, wenn du dir überlegst, dass [mm] $(Z,\tau_Z)\hookrightarrow(X,\tau_X)$ [/mm] stetig ist (du wirst feststellen, dass [mm] $\tau_Z$ [/mm] gerade so definiert ist, dass das funktioniert), und verwendest, dass Kompositionen stetiger Abbildungen stetig sind.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Mo 18.04.2016 | | Autor: | fred97 |
a) und b) sind O.K.
Zu c): setze [mm] g:=f_{|Z}. [/mm] Dann ist zu zeigen:
für jedes $G [mm] \in \tau_Y$ [/mm] ist [mm] g^{-1}(G) \in \tau_Z.
[/mm]
Drücke nun [mm] g^{-1}(G) [/mm] mit f aus, dann hast Du alles.
FRED
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> Zu c): setze $ [mm] g:=f_{|Z}. [/mm] $ Dann ist zu zeigen:
> für jedes $ G [mm] \in \tau_Y [/mm] $ ist $ [mm] g^{-1}(G) \in \tau_Z. [/mm] $
Ich bin mir nicht sicher, ob ich nun korrekt vorgehe.
Also:
Sei [mm] $G\in\tau_Y$, [/mm] ich zeige, dass [mm] $g^{-1}(G)\in\tau_Z$.
[/mm]
[mm] $g^{-1}: Y\to [/mm] Z$
Dann ist [mm] $g^{-1}(G)\stackrel{?}{=}\{z\in Z: g(z)\in Z\cap U \text{mit} U\in\tau_X\}$
[/mm]
Wäre die Urbildmenge so korrekt? Und nun zeigen, dass die Elemente dieser Menge in [mm] $\tau_Z$ [/mm] liegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 18.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Zu c): setze [mm]g:=f_{|Z}.[/mm] Dann ist zu zeigen:
>
> > für jedes [mm]G \in \tau_Y[/mm] ist [mm]g^{-1}(G) \in \tau_Z.[/mm]
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich nun korrekt vorgehe.
>
> Also:
>
> Sei [mm]G\in\tau_Y[/mm], ich zeige, dass [mm]g^{-1}(G)\in\tau_Z[/mm].
>
> [mm]g^{-1}: Y\to Z[/mm]
g muss i.a. keine Umkehrfunktion haben !!!
Es ist [mm] g^{-1}(G)=\{z \in Z: g(z) \in G\},
[/mm]
>
> Dann ist [mm]g^{-1}(G)\stackrel{?}{=}\{z\in Z: g(z)\in Z\cap U \text{mit} U\in\tau_X\}[/mm]
>
> Wäre die Urbildmenge so korrekt?
Was Du da schreibst ist ziemlicher Murks , denn in der rechten Menge, also in
[mm] \{z\in Z: g(z)\in Z\cap U \text{mit} U\in\tau_X\},
[/mm]
kommt $G$ gar nicht vor !! Das kann ja wohl nicht sein. Ist Dir das nicht aufgefallen ??
Wir haben
$ [mm] g^{-1}(G)=\{z \in Z: g(z) \in G\}=\{z \in Z: f(z) \in G\} [/mm] = Z [mm] \cap f^{-1}(G).$
[/mm]
Warum ist nun [mm] g^{-1}(G) \in \tau_Z [/mm] ?
FRED
> Und nun zeigen, dass die
> Elemente dieser Menge in [mm]\tau_Z[/mm] liegen.
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Nein, das ist mir leider nicht aufgefallen. Ich hätte mir das besser durch den Kopf gehen lassen sollen.
> Wir haben
> $ [mm] g^{-1}(G)=\{z \in Z: g(z) \in G\}=\{z \in Z: f(z) \in G\} [/mm] = Z [mm] \cap f^{-1} [/mm] (G). $
> Warum ist nun $ [mm] g^{-1}(G) \in \tau_Z [/mm] $ ?
Da [mm] $G\in\tau_Y$ [/mm] und $f$ stetig, ist [mm] $f^{-1}(G)\in\tau_X$, [/mm] also [mm] $Z\cap f^{-1}(G)\in\tau_Z$ [/mm] nach Definition von [mm] $\tau_Z$.
[/mm]
Ich habe noch eine Frage zu den Mengengleichheiten:
[mm] $g^{-1}(G)=\{z\in Z: g(z)\in G\}$ [/mm] ist jetzt klar.
[mm] $\{z\in Z: g(z)\in G\}=\{z\in Z: f(z)\in G\}$ [/mm] hier wurde einfach [mm] $g:=f_{|Z}$ [/mm] benutzt
Die letzte Gleichheit:
[mm] $=Z\cap f^{-1}(G)$ [/mm] wählt man geschickt so um die Defintion von [mm] $\tau_Z$ [/mm] anzuwenden, wenn ich das richtig sehe, anstelle
[mm] $=f^{-1}(G)$ [/mm] zu schreiben. Und die Gleichheit gilt, wegen [mm] $f^{-1}(G)\subseteq [/mm] Z$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 18.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Nein, das ist mir leider nicht aufgefallen. Ich hätte mir
> das besser durch den Kopf gehen lassen sollen.
>
> > Wir haben
>
> > [mm]g^{-1}(G)=\{z \in Z: g(z) \in G\}=\{z \in Z: f(z) \in G\} = Z \cap f^{-1} (G).[/mm]
>
> > Warum ist nun [mm]g^{-1}(G) \in \tau_Z[/mm] ?
>
> Da [mm]G\in\tau_Y[/mm] und [mm]f[/mm] stetig, ist [mm]f^{-1}(G)\in\tau_X[/mm], also
> [mm]Z\cap f^{-1}(G)\in\tau_Z[/mm] nach Definition von [mm]\tau_Z[/mm].
Richtig
>
> Ich habe noch eine Frage zu den Mengengleichheiten:
>
> [mm]g^{-1}(G)=\{z\in Z: g(z)\in G\}[/mm] ist jetzt klar.
>
> [mm]\{z\in Z: g(z)\in G\}=\{z\in Z: f(z)\in G\}[/mm] hier wurde
> einfach [mm]g:=f_{|Z}[/mm] benutzt
Ja
>
> Die letzte Gleichheit:
>
> [mm]=Z\cap f^{-1}(G)[/mm] wählt man geschickt so um die Defintion
> von [mm]\tau_Z[/mm] anzuwenden, wenn ich das richtig sehe, anstelle
>
> [mm]=f^{-1}(G)[/mm] zu schreiben. Und die Gleichheit gilt, wegen
> [mm]f^{-1}(G)\subseteq Z[/mm]
Unsinn ! Da wird nix "gewählt". Die letzte Gleichheit ist einfachste Mengenlehre:
[mm] $Z\cap f^{-1}(G) [/mm] = Z [mm] \cap \{x \in X: f(x) \in G\} =\{x \in Z: f(x) \in G\}$
[/mm]
FRED
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Ich habe mich wohl schlecht ausgedrückt. Ich meinte damit, dass man es so darstellt um direkt zu erkennen, dass die Definition der Topologie vorliegt.
Damit wäre also gezeigt, dass das Urbild einer offenen Menge bezüglich
[mm] $f_{|Z}: Z\to [/mm] Y$ offen ist, und daher stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mo 18.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Damit wäre also gezeigt, dass das Urbild einer
jeden in [mm] $(Y,\tau_Y)$
[/mm]
> offenen
> Menge bezüglich
>
> [mm]f_{|Z}: Z\to Y[/mm] offen
in [mm] $(Z,\tau_Z)$
[/mm]
> ist, und daher
ist [mm] $f_{|Z}$
[/mm]
> stetig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Vielen Dank an alle beteiligten, das hat mir sehr geholfen.
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