Teilverhältnisse < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>
a,b,c seinen 3 verschiedene Punkte auf einer Geraden. Zeige: TV(a;b,c)TV(b;a,c)TV(c;a,b)=-1 |
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Jetzt ist bei mir für TV(a;b,c)
a=[mm] \lambda[/mm]b+[mm] \mu[/mm]c mit[mm] \lambda + \mu =1 \Rightarrow \mu = 1-\lambda[/mm]
Das ergibt dann für a folgendes: a= [mm]\lambda b + (1-\lambda)c[/mm] TV(a;b,c)= [mm] \frac{-(1- \lambda)}{\lambda}[/mm]
Da ich die Teilverhältnisse ja aus den [mm]\lambda[/mm] zusammensetzen muss. Das Minus oben kommt vom ersten [mm]\lambda[/mm], da ich ja hierbei das hintere durch das vorderen teilen muß, um auf das Ergebnis zu kommen.
Was ich dann aber nicht ganz verstehe ist das zweite Teilverhältnis:
TV(b;a,c)
[mm]a= \lambda b + (1- \lambda )c \gdw a-(1- \lambda )c = \lambda b \gdw \frac{a}{\lambda} - \frac{1-\lambda}{\lambda} = b[/mm]
Nach meinen Überlegungen würde dann als Teilungsverhältnis folgendes dabei herausspringen: [mm] \frac{(1-\lambda)\lambda}{\lambda} = \lambda
[/mm] laut der Lösung die ich vorliegen habe soll aber [mm] \frac{( \frac{-1}{\lambda})}{ \frac{1-\lambda}{\lambda}} = \frac{1}{1-\lambda}
[/mm] Wenn ich TV(c;a,b) ausrechne, komme ich wieder auf die ursprüngliche Lösung, aber mit genau den Lösungen stimmt es, dass -1 herauskommt
Habe ich einen Denk/Verständnisfehler bei TV(b;a,c) gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mi 28.08.2013 | | Autor: | abakus |
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> a,b,c seinen 3 verschiedene Punkte auf einer Geraden.
> Zeige: TV(a;b,c)TV(b;a,c)TV(c;a,b)=-1
>
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> Jetzt ist bei mir für TV(a;b,c)
> a=[mm] \lambda[/mm]b+[mm] \mu[/mm]c
Hallo,
ich verstehe diesen Ansatz nicht. Damit ist ja nicht einmal gewährleistet, dass a, b und c auf einer Geraden liegen.
Gruß Abakus
> mit[mm] \lambda + \mu =1 \Rightarrow \mu = 1-\lambda[/mm]
>
> Das ergibt dann für a folgendes: a= [mm]\lambda b + (1-\lambda)c[/mm]
> TV(a;b,c)= [mm]\frac{-(1- \lambda)}{\lambda}[/mm]
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> Da ich die Teilverhältnisse ja aus den [mm]\lambda[/mm]
> zusammensetzen muss. Das Minus oben kommt vom ersten
> [mm]\lambda[/mm], da ich ja hierbei das hintere durch das vorderen
> teilen muß, um auf das Ergebnis zu kommen.
>
> Was ich dann aber nicht ganz verstehe ist das zweite
> Teilverhältnis:
>
> TV(b;a,c)
> [mm]a= \lambda b + (1- \lambda )c \gdw a-(1- \lambda )c = \lambda b \gdw \frac{a}{\lambda} - \frac{1-\lambda}{\lambda} = b[/mm]
>
> Nach meinen Überlegungen würde dann als
> Teilungsverhältnis folgendes dabei herausspringen:
> [mm]\frac{(1-\lambda)\lambda}{\lambda} = \lambda
[/mm] laut der
> Lösung die ich vorliegen habe soll aber [mm]\frac{( \frac{-1}{\lambda})}{ \frac{1-\lambda}{\lambda}} = \frac{1}{1-\lambda}
[/mm]
> Wenn ich TV(c;a,b) ausrechne, komme ich wieder auf die
> ursprüngliche Lösung, aber mit genau den Lösungen stimmt
> es, dass -1 herauskommt
> Habe ich einen Denk/Verständnisfehler bei TV(b;a,c)
> gemacht?
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Hm, so hatten wir das in der Übung gesagt bekommen, dass es so gemacht werden soll...
Ich habe daher jetzt grad spontan keine Idee, auf deinen Kommentar.
Das Teilverhältnis ist auch quasi so definiert, wie ich es unter a=... aufgeschrieben hatte, also dass der Punkt a, die anderen beiden Punkte b und c, welche die Gerade aufspannen eben nach dem beschriebenen teilt.
Die genaue Definition lautet:
Seien b,c zwei Punkte, die eine Gerade aufspannen. Für jeden Punkt a auf der Geraden ordnet man ein Teilverhältnis zu:
[mm]Sei a= \lambda b + (1-\lambda)c[/mm]
ein Punkt auf der Geraden b,c.
Dann heißt TV(a;b,c)= [mm] \frac{\lambda}{1-\lambda}[/mm]
das Teilverhältnis.
Daran habe ich mich quasi gehalten, oder ist das jetzt falsch gewesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mi 28.08.2013 | | Autor: | abakus |
> Hm, so hatten wir das in der Übung gesagt bekommen, dass
> es so gemacht werden soll...
>
> Ich habe daher jetzt grad spontan keine Idee, auf deinen
> Kommentar.
>
> Das Teilverhältnis ist auch quasi so definiert, wie ich es
> unter a=... aufgeschrieben hatte, also dass der Punkt a,
> die anderen beiden Punkte b und c, welche die Gerade
> aufspannen eben nach dem beschriebenen teilt.
>
> Die genaue Definition lautet:
>
> Seien b,c zwei Punkte, die eine Gerade aufspannen. Für
> jeden Punkt a auf der Geraden ordnet man ein
> Teilverhältnis zu:
> [mm]Sei a= \lambda b + (1-\lambda)c[/mm]
> ein Punkt auf der Geraden
> b,c.
> Dann heißt TV(a;b,c)= [mm]\frac{\lambda}{1-\lambda}[/mm]
> das Teilverhältnis.
> Daran habe ich mich quasi gehalten, oder ist das jetzt
> falsch gewesen?
Hallo,
vielleicht sagst du uns mal, was a, b und c eigentlich sind.
Punkte???
Oder doch eher Ortsvektoren der Punkte A, B und C?
Oder ist a ein Vektor, der durch einen Pfeil vom Punkt B zum Punkt C repräsentiert werden kann ...
Gruß Abakus
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äh das hatte ich doch in der Aufgabenstellung geschrieben, es handelt sich um Punkte, keine Vektoren nur Punkte.
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Hallo,
> äh das hatte ich doch in der Aufgabenstellung geschrieben,
> es handelt sich um Punkte, keine Vektoren nur Punkte.
Und was sind Punkte anderes als Vektoren? Da liegt glaube ich ein großes Missverständnis schonmal darin, dass hier natürlich mit Vektoren gearbeitet wird, auch wenn die Bezeichner keinen Pfeil aufweisen (manche Autoren bezeichnen das ja eh als Verschwendung von Druckerschwärze...).
Deine eigentlichen Fehler gehen schon damit los, dass du für TV(a;b,c) eben nicht die angegebene Definition verwendet hast (die im übrigen genau der seit Jahrtausenden bekannten Gepflogenheit entspricht, dass die einzelnen Teilstrecken zueinander ins Verhältnis gesetzt werden).
Als nächstes hätte ich die Frage, ob du dir beim zweiten Teilverhältnis sicher bist. Das sollte meiner Ansicht nach T(b;c,a) heißen. Unter dieser Voraussetzung wäre IMO
[mm] T(a;b,c)=\bruch{\lambda}{1-\lambda}
[/mm]
sowie
[mm] T(b;c,a)=\bruch{1}{-\lambda}=-\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
und das letzte darfst du jetzt nochmal selbst ausprobieren. Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Bezugspunkte wichtig ist!
Und ich bekomme mit dieser Version der Aufgabe dann als Produkt die geforderten -1 heraus!
Gruß, Diophant
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Danke für die Informationen, aber ich bin dennoch ein wenig unschlüssig, denn dann ist unsere "Musterlösung" die in der Übungsgruppe abgesegnet wurde ja total falsch, sehr merkwürdig.
Egal ich komme aber trotzdem nicht auf das von dir erwähnte für TV(b;c,a) [bei mir war da ein kleiner Dreher drin]
Wenn ich das aufstehe sieht es bei mir so aus:
[mm]a= \lambda b + (1- \lambda)c \gdw a- \frac{a}{b}(1- \lambda)c =\lambda b \gdw \frac{a}{\lambda} - \frac{(1- \lambda)c}{\lambda} =b[/mm]
So um das Teilungsverhältnis für b jetzt darzustellen nehme ich ja alles aus der Gleichung was nicht a und c ist und teile es durcheinander und zwar für TV(b;c,a) so: [mm]\frac{ \frac{1}{\lambda}}{ \frac{-(1-\lambda)}{\lambda}} = \frac{1}{-1+\lambda}[/mm]
Allerdings sagt deine Lösung ja nochmal was anderes, oder laufe ich immer noch in die falsche Richtung, bzw fasse das mit der Reihenfolge der Punkte falsch auf?
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Hallo,
> Danke für die Informationen, aber ich bin dennoch ein
> wenig unschlüssig, denn dann ist unsere "Musterlösung"
> die in der Übungsgruppe abgesegnet wurde ja total falsch,
> sehr merkwürdig.
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> Egal ich komme aber trotzdem nicht auf das von dir
> erwähnte für TV(b;c,a) [bei mir war da ein kleiner Dreher
> drin]
>
> Wenn ich das aufstehe sieht es bei mir so aus:
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> [mm]a= \lambda b + (1- \lambda)c \gdw a- \frac{a}{b}(1- \lambda)c =\lambda b \gdw \frac{a}{\lambda} - \frac{(1- \lambda)c}{\lambda} =b[/mm]
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> So um das Teilungsverhältnis für b jetzt darzustellen
> nehme ich ja alles aus der Gleichung was nicht a und c ist
> und teile es durcheinander und zwar für TV(b;c,a) so:
> [mm]\frac{ \frac{1}{\lambda}}{ \frac{-(1-\lambda)}{\lambda}} = \frac{1}{-1+\lambda}[/mm]
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> Allerdings sagt deine Lösung ja nochmal was anderes, oder
> laufe ich immer noch in die falsche Richtung, bzw fasse das
> mit der Reihenfolge der Punkte falsch auf?
Vermutlich letzteres, aber man kann es nicht nachvollziehen, es ist einfach alles viel zu chaaotisch notiert.
Nehmen wir mal für einen kurzen Moment o.B.d.A an, der Punkt a liege zwischen den Punkten b und c, so dass (aus einer vorher festgelegten Betrachtungsrichtung aus gesehen) die Punkte auf der Geraden in der Reihenfolge b,a und c liegen. Nehmen wir weiter, ebenfalls o.B.d.A an, der Abstand [mm] \overline{BC} [/mm] sei 1 LE (das tut ihr übrigens auch!). Dann dürfte doch schon aus dem anschaulichen Begriff des Teilverhältnisses die Beziehung
[mm] TV(a;b,c)=\bruch{\lambda}{1-\lambda}
[/mm]
folgen. Denn es wird ja die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] durch die Strecke [mm] \overline{BC} [/mm] dividiert.
Jetzt musst du hier nur (für die anderen Teilverhältnisse) eine Sache beachten: es handelt sich um gerichtete Strecken, was so viel bedeutet, als dass die Strecke ein Vektor entlang der Geraden ist und somit einen Richtungssinn aufweist. Zeigt dieser in Betrachtungsrichtung, dann ist die Strecke positiv, im anderen Falle ist sie negativ.
Wenn du das beachtest, dann solltest du damit weiterkommen. Und: man muss nicht immer alles exakt so machen, wie in der Übungsgruppe gehandhabt (denn das erscheint mir hier reichlich umständlich) und es ist IMO ein wenig viel verlangt, wenn wir unsere Lösungstipps auch noch auf die jeweiligen Gepflogenheiten abstimmen müssen.
Denke nochmal ein wenig über den Begriff Teilverhältnis nach, dann wirst du sicherlich dahinterkommen und einsehen, dass eure Formalrechnerei für die beiden anderen Teilverhältnisse völlig unnötig ist.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mi 28.08.2013 | | Autor: | Grapadura |
Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.
Du hattest recht, dass die Formalrechnerei überflüssig ist, sie hat mich ja letzten Endes auch nur stark verwirrt.
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