Teilvolumen einer Kugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Di 12.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen des Teiles der Kugel [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] <= [mm] a^2, [/mm] das innerhalb des Zylinders [mm] (x-(a/2))^2+y^2=(a^2/4) [/mm] liegt. (a>0) |
Hallo,
ich hab mal wieder eine Frage in der Geometrie im Raum. Man soll die Aufgabe in Zylinderkoordinaten berechnen. Also x=r*cos [mm] \phi, [/mm] y=r*sin phi und z=z. Das Volumen werd ich am Ende durch ein Dreifachintegral lösen, das ist mir klar. Aber wie lege ich bitte die Grenzen fest und über welche Funktion integriere ich dann? Ich denke, ich muss über die Zylinderfunktion integrieren und die Grenzen sind die Schnittpunkte mit der Kugel.
Wäre echt nett, wenn ihr mir beim Festlegen der Grenzen behilflich sein könntet!
Danke!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Di 12.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Für z [mm] \in [/mm] [0,a] sei
[mm] K_z:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le a^2-z^2\}.
[/mm]
Weiter sei
[mm] K:=\{(x,y) \in \IR^2: (x-(a/2))^2+y^2=(a^2/4) \}
[/mm]
und
[mm] $S_z: =K_z \cap [/mm] K$.
(Skizze !)
Berechne nun den Flächeninhalt $F(z)$ von [mm] S_z [/mm] für z [mm] \in [/mm] [0,a] .
Nach dem Prinzip von Cavalieri ist dann das gesuchte Volumen
[mm] =\integral_{0}^{a}{F(z) dz}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 12.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
vielen Dank soweit! Aber ich komm erstmal noch nicht voran. Wie mache ich eine Skizze von den Funktionen, da die ja vom Parameter a abhängen? Soll ich a durch eine konkrete Zahl ersetzen?
Gibt es noch eine andere Möglichkeit, die Aufgabe zu rechnen? Denn das Prinzip von Cavalieri haben wir nie gehabt, also muss es ja auch anders gehen (am besten in Polarkoordinaten?)
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 12.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
> vielen Dank soweit! Aber ich komm erstmal noch nicht voran.
> Wie mache ich eine Skizze von den Funktionen, da die ja vom
> Parameter a abhängen? Soll ich a durch eine konkrete Zahl
> ersetzen?
Ja sicher, a ist ja nur ein Skalierungsfaktor. a ist einerseits der Kugelradius und andererseits der Durchmesser des Drehzylinders.
Der Zylinder ist so platziert, dass Kugel und Zylinder einander in einem Punkt berühren, in welchem die Durchdringungskurve ("Vivianisches Fenster") einen Doppelpunkt hat.
RMix
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