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Teleskopreihe,Konvergent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 26.02.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Man zeige : die Teleskopreihen [mm] \sum_{k=1}^{\infty}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm]  und
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k+1} [/mm] sind genau dann konvergent, wenn [mm] lim_{n->\infty}x_n [/mm] existiert. In diesem Falle ist
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})= lim_{n ->\infty} x_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k+1})=x_1 [/mm] - [mm] lim_{n->\infty}x_n [/mm]


Ich hab mir die reihen einzeln aufgeschrieben. Aber ich weiß nicht genau, wie ich vorgehen soll. Kann mir da wer einen Tipp geben.

Ansätze würde ich gerne geben, aber was ich versucht habe ist alles Quark gewesen

        
Bezug
Teleskopreihe,Konvergent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 So 26.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dir sollte bekannt sein, dass eine Reihe letztlich nichts anderes ist als der Grenzwert der Partialsummen.

Schreibe dir mal die Folge von Partialsummen hin, dann stehts eigentlich schon da und es ist nicht viel zu zeigen.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Teleskopreihe,Konvergent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 So 26.02.2012
Autor: theresetom

Hallo

$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty}(x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k-1}) [/mm] $  und
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k+1}) [/mm] $


[mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k-1})= x_1 [/mm] - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] .. + [mm] x_{n-1} [/mm] - [mm] x_{n-2} [/mm] + [mm] x_n [/mm] - [mm] x_{n-1} [/mm] = - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_n [/mm]

[mm] \sum_{k=1}^{n} (x_{k} [/mm]  -  [mm] x_{k+1})=x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] + [mm] x_4 -x_5....+x_{n-1}-x_{n}+x_n-x_{n+2} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_{n+2} [/mm]

Ich hoffe das stimmt mal, wie mache ich denn da weiter?

Bezug
                        
Bezug
Teleskopreihe,Konvergent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 So 26.02.2012
Autor: kamaleonti

Hallo theresetom,
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}(x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm]  und
>  [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (x_{k}[/mm] - [mm]x_{k+1})[/mm]
>  
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n}(x_{k}[/mm]  [mm]-[/mm] [mm]x_{k-1})= x_1[/mm] - [mm]x_0[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]x_1[/mm] +  [mm]x_3[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm] - [mm]x_3[/mm] + [mm]x_5[/mm] - [mm]x_4[/mm] .. + [mm]x_{n-1}[/mm] - [mm]x_{n-2}[/mm] + [mm]x_n[/mm] - [mm]x_{n-1}[/mm]
> = - [mm]x_0[/mm] + [mm]x_n[/mm]
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{n} (x_{k}[/mm]  -  [mm]x_{k+1})=x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] + [mm]x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] + [mm]x_4 -x_5....+x_{n-1}-x_{n}+x_n-x_{n+2}[/mm] = [mm]x_1[/mm] - [mm]x_{n+2}[/mm]

Hier kommt [mm] x_1-x_{n+1} [/mm] raus.

>  
> Ich hoffe das stimmt mal, wie mache ich denn da weiter?

Jetzt vergleiche mal mit der Behauptung.
Was gilt denn z. B. für [mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=\lim_{n\to\infty}(x_n-x_0) [/mm] ?

LG


Bezug
                                
Bezug
Teleskopreihe,Konvergent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 So 26.02.2012
Autor: theresetom

achso, schon verstanden ;)

Bezug
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