Temparatur im Tagesverlauf < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Schüler, der kurz vorm Abitur steht, hat folgende Aufgabe bekommen:
Die Außentemperatur einer Hauswand im Laufe eines Tages wird durch die Formel
f(x) = [mm] 8sin(\bruch{\pi}{12}(x-6.5)) [/mm] + 21
dargestellt, wobei x die Uhrzeit und f(x) die Temperatur angibt.
Fragen:
a) Um wieviel Uhr ist die Wand am wärmsten?
b) Welches ist die niedrigste Temperatur?
c) Um wieviel Uhr fällt die Temperatur am stärksten?
d) Welche Durchschnittstemperatur herrscht zwischen 6 und 18 Uhr? |
Was mich hier verwirrt, ist folgendes:
Während man die Fragen a), b) und c) auch ganz ohne Kenntnisse der Differenzialrechnung kann, ist für d) meines Erachtens sogar „höhere“ Integralrechnung erforderlich.
Frage: Oder geht das auch anders???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 10.03.2012 | | Autor: | rabilein1 |
Meines Lösungen sind übrigens:
Wegen [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{24} [/mm] hat die Periode 24 Stunden. Die kann man also in 4 Abschnitte à 6 Stunden unterteilen.
Zu a) Am wärmsten ist es um 6.5 + 6 =... (12:30 Uhr)
Zu b) Die niedrigste Temperatur ist 21 – 8 = … (13°)
Zu c) Die Temperatur fällt am stärksten um 6.5 + 12 = … (18:30 Uhr)
Zu d) Trallala und hoppsassa und hastenichtgehört … (etwa 26°)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
deine Lösungen sind richtig. Wenn man übrigens die Funktion so abändert
[mm] f(x)=8*sin\left(\bruch{\pi}{12}(x-8.5)\right)+21 [/mm] ; [mm] 0\le{x}\le{24}
[/mm]
dann sieht sie genau gleich aus wie die Aufgabe
Abiturprüfung 2008, Wahlteil: Analysis I 2
aus Baden-Württemberg.
Gruß, Diophant
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Hallo rabilein1,
> d) Welche Durchschnittstemperatur herrscht zwischen 6 und
> 18 Uhr?
> Was mich hier verwirrt, ist folgendes:
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> Während man die Fragen a), b) und c) auch ganz ohne
> Kenntnisse der Differenzialrechnung kann, ist für d)
> meines Erachtens sogar „höhere“ Integralrechnung
> erforderlich.
>
> Frage: Oder geht das auch anders???
>
Nein, das siehst du genau richtig. Man benötigt den Durchschnitt bzw. den Mittelwert einer Funktion über dem Intervall [a,b], der definiert ist durch
[mm]\bar{f}_{a,b}=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
Im Rahmen von Abiprüfungen ist das eine sehr häufige Fragestellung.
BTW: die Aufgabe kommt mir irgendwie bekannt vor. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Sa 10.03.2012 | | Autor: | rabilein1 |
> BTW: die Aufgabe kommt mir irgendwie bekannt vor.
Da bin mal beruhigt. Ansonsten bin ich immer wieder erstaunt, wie viele unterschiedliche Anwendungsmöglichkeiten es doch zu einem Thema gibt.
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> Ein Schüler, der kurz vorm Abitur steht, hat folgende
> Aufgabe bekommen:
>
> Die Außentemperatur einer Hauswand im Laufe eines Tages
> wird durch die Formel
>
> f(x) = [mm]8sin(\bruch{\pi}{12}(x-6.5))[/mm] + 21
>
> dargestellt, wobei x die Uhrzeit und f(x) die Temperatur
> angibt.
>
> Fragen:
> a) Um wieviel Uhr ist die Wand am wärmsten?
>
> b) Welches ist die niedrigste Temperatur?
>
> c) Um wieviel Uhr fällt die Temperatur am stärksten?
>
> d) Welche Durchschnittstemperatur herrscht zwischen 6 und
> 18 Uhr?
> Was mich hier verwirrt, ist folgendes:
>
> Während man die Fragen a), b) und c) auch ganz ohne
> Kenntnisse der Differenzialrechnung kann, ist für d)
> meines Erachtens sogar „höhere“ Integralrechnung
> erforderlich.
>
> Frage: Oder geht das auch anders???
Hallo rabilein,
für eine "exakte" Lösung von d) braucht man ein Integral,
wie Diophant bereits gemeldet hat.
Für eine Abi-Aufgabe ist das wohl auch so gedacht.
Man könnte sich aber durchaus auch eine praktisch ebenso
gute Lösung, so etwa im Rahmen der üblicherweise möglichen
Messgenauigkeit vorstellen, bei der man einfach etwa den
Mittelwert aus den Temperaturen zu jeder ganzen oder halben
Stunde im betrachteten Zeitintervall nimmt - um einen allfälligen
"Randfehler" zu minimieren vielleicht aus den Temperaturen
von 6:30, 7:30, 8:30, ....... , 17:30 .
Dies gibt zwar etwas mehr Rechenaufwand als das Integral,
ist aber mit einem Taschenrechner gut zu machen.
Wie eine solche Lösung dann bewertet würde, kann ich
allerdings nicht wissen. Ich kann mir vorstellen, dass es
Lehrer gibt, die auf einer Lösung mittels Integral beharren
würden - meiner Meinung nach aber zu Unrecht !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al-Chwarizmi,
> Man könnte sich aber durchaus auch eine praktisch ebenso
> gute Lösung, so etwa im Rahmen der üblicherweise
> möglichen
> Messgenauigkeit vorstellen, bei der man einfach etwa den
> Mittelwert aus den Temperaturen zu jeder ganzen oder
> halben
> Stunde im betrachteten Zeitintervall nimmt - um einen
> allfälligen
> "Randfehler" zu minimieren vielleicht aus den Temperaturen
> von 6:30, 7:30, 8:30, ....... , 17:30 .
> Dies gibt zwar etwas mehr Rechenaufwand als das Integral,
> ist aber mit einem Taschenrechner gut zu machen.
> Wie eine solche Lösung dann bewertet würde, kann ich
> allerdings nicht wissen. Ich kann mir vorstellen, dass es
> Lehrer gibt, die auf einer Lösung mittels Integral
> beharren
> würden - meiner Meinung nach aber zu Unrecht !
das wäre ja sozusagen eine Art Vorstufe zur Integralrechnung. Im Grunde sollte man das im Abi auch anerkennen, vor dem Hintergund nämlich, dass Integrale ja bei diesen Aufgaben grundsätzlich mit dem GTR berechnet werden sollen und somit Näherungswerte akzeptiert werden.
Aber ich möchte es Schülern dennoch nicht empfehlen. Zwar wird bei der Korrektur dieser Aufgaben heutzutage eine gewisse Toleranz zu Grunde gelegt, aber man sollte sich dann schon sicher sein, ob man da drin liegt. Deshalb die Rechnung lieber doch gedankenlos in den GTR reinhauen...
Gruß, Diophant
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> Deshalb die
> Rechnung lieber doch gedankenlos in den GTR reinhauen... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
... das kann ich höchstens vom Gesichtspunkt eines
geplagten Abiturienten befürworten, der auf Teufel
komm raus rasch Lösungen produzieren muss, die
auch einer möglicherweise bornierten Lehrkraft
genehm sind.
Vom Standpunkt der Mathematik und aus gesundem
Menschenverstand heraus aber bestimmt nicht ...
LG , Al
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Ich habe das Ganze jetzt noch gerechnet:
Via Integral kommt man auf eine Durchschnittstemperatur
von 26.05° , durch den Mittelwert aus den 12 Temperaturen
in Stundenabständen ab 06:30 bis 17:30 auf 26.06° .
Der Unterschied beträgt nur etwa ein siebzigstel Grad -
liegt also klar unterhalb einer messtechnisch überhaupt
sinnvoll zu erfassenden Grenze.
Eine solche Lösung abzulehnen, wäre demnach nur dann
gerechtfertigt,wenn in der Aufgabenstellung ausdrücklich
eine Lösung mittels Integralrechnung vorgeschrieben
wäre.
Nun wäre es interessant zu erfahren, wie eine solche
"praktische" Lösung von den Zuständigen effektiv
bewertet würde ! Könntest du dies eruieren ?
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al-Chwarizmi,
> Nun wäre es interessant zu erfahren, wie eine solche
> "praktische" Lösung von den Zuständigen effektiv
> bewertet würde ! Könntest du dies eruieren ?
ich werde es mal versuchen. In den Aufgabenstellungen des Wahlteils ist in diesem Fall (und in der Regel auch sonst nicht) kein bestimmter Ansatz vorgschrieben. Ic gebe dir völlig Recht darin, dass man deine Lösung werten müsste. Ich will mich jetzt nicht zu weit aus dem Fenster lehnen, aber wie heißt es bei Brecht so schön:
Doch die Verhältnisse, die sind nicht so...
Will sagen: da gibt es bestimmte Vorstellungen, wie so eine Modellierung vor sich zu gehen hat, und der eine klammert sich da mehr dran, der andere weniger. Ich hatte mal vor einigen Jahren den Fall miterlebt, wo eine Abiklausur in BaWü vom Lehrer mit einer 1+, vom Zweitkorrektor jedoch mit einer 4 benotet wurde (deutsche Noten). Von daher meine Bedenken...
Grüße&schönes Wochenende,
Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Mo 12.03.2012 | | Autor: | rabilein1 |
Da hat es ja eine lange Diskussion gegeben, wie ich jetzt erst sehe.
Was in meinen Augen gegen die Integralrechnung spricht, ist lediglich, dass die Teilaufgaben vorher ganz ohne Differentialrechnung auskamen. Da hatte ich dann dem Schüler gesagt: Wenn du eine einfache Lösung siehst - was die Schüler allerdings meinstens nicht tun - dann nimm diese.
Bei der letzten Teilaufgabe dagegen musste man erst mal rausfinden, wie denn das Integral überhaupt lautet. Und das hatte ich erst durch probieren rausgekriegt (Welche Funktion muss man differenzieren, um die Ausgangsfunktion zu erhalten)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo rabilein1,
> Bei der letzten Teilaufgabe dagegen musste man erst mal
> rausfinden, wie denn das Integral überhaupt lautet. Und
> das hatte ich erst durch probieren rausgekriegt (Welche
> Funktion muss man differenzieren, um die Ausgangsfunktion
> zu erhalten)
es sit so, dass diese Aufgaben für die Bearbeitung mit einem grafikfähigen Taschenrechner vorgesehen sind. Von daher müssen die Schüler das im Abi heutzutage nicht mehr per Stammfunktion berechnen.
Wenn man es ihnen dennoch beibringt, so halte ich das aber auch für keinen Schaden.
Gruß, Diophant
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